Linear_Discriminant_Analysis.pdf

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种常用于统计模式识别和机器学习领域的经典分类技术。在分析数据以进行分类时，LDA试图找到一个投影方向，使得在这个方向上的投影能够最大化各类别数据的间隔，同时最小化同类数据的方差。这种方法最早由统计学家罗纳德·费舍尔（Ronald Fisher）在1936年提出。 在文档“Linear_Discriminant_Analysis.pdf”中，首先回顾了主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）的概念，它是通过找出数据协方差矩阵的特征向量来实现数据降维。PCA寻找的是一个正交变换，将数据投影到新的轴系统中，其目的是使得新的变量（主成分）之间是不相关的。PCA投影的一个重要特性是它可以对协方差矩阵进行对角化，即将数据点转换为互相独立。 而LDA则不同于PCA，它是一种监督学习的降维技术，其投影不仅仅关注数据自身的结构，还考虑了类别的信息，因此LDA常被看作是一种有监督的线性变换方法。LDA的目标是找到一个投影方向，使得同类数据在这个方向上的投影尽可能地接近，而不同类别的投影尽可能地分开。 LDA的数学原理可以通过以下几个步骤进行说明： 1. 数据的中心化处理：为了消除不同特征量纲的影响，并确保数据在相同尺度下进行比较，首先将数据集进行中心化处理，即从每个数据点中减去该类别的均值。这样每个数据点都是相对于其类中心的，这在数学上相当于从数据矩阵中减去了一个均值矩阵。 2. 计算类内散度矩阵（Within-class Scatter Matrix）和类间散度矩阵（Between-class Scatter Matrix）：类内散度矩阵代表了数据点在其所属类别内部的散布程度，而类间散度矩阵表示了不同类别中心之间的距离。在LDA中，最大化类间距离的同时最小化类内距离是优化的关键。 3. 解决优化问题：这一步是求解一个广义特征值问题，即寻找投影轴使得类间散度矩阵和类内散度矩阵的比值最大。LDA通过求解这个优化问题，得到一组最优的投影方向，它们是类间散度矩阵和类内散度矩阵共同特征向量的线性组合。 4. 特征提取与分类：将数据投影到这些最优的投影轴上，得到一组降维后的特征。这些特征具有更好的类分离性，因而可以用于后续的分类任务。LDA通常会将数据降维到类别数减一的维度，因为这能够提供最大的类间区分度。 在文档中提到的协方差矩阵和散度矩阵是LDA中非常重要的概念。协方差矩阵可以看作是数据分布的二阶统计特性，反映了数据点在其均值周围的散布程度，也就是各数据点的相互依赖性。而散度矩阵则是在LDA中被用来描述数据点在类别分布方面的差异。 文档中还提到了特征值分解，这是线性代数中非常重要的一个概念。通过将矩阵分解为特征值和特征向量，可以找到矩阵的基本性质。在LDA中，找到最优的投影轴就是通过求解协方差矩阵或散度矩阵的特征值问题来完成的。 文档还提及了数学表达式的不同形式，例如用外积而非点积来表示协方差矩阵的计算。外积运算能够使我们得到一个新的矩阵，其元素的值表示两个向量对应元素的乘积之和。这在处理向量间的相互关系时十分有用，尤其是在需要计算两个向量相关程度或差异时。