数学建模课程设计（血样的分组检验）.pdf
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2022-05-01
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数学建模
血样的分组检验
摘要: 本文以医学的调查统计为基础，进行抽象，利用概率论知识组建模型，对何时分组和怎样分组给出了详尽的讨论
并对结果进行了符合实际情况的解释，结合真实的数据对模型进行了验证，最后对模型加以改进和推广。
1． 问题描述
要在人群中（数量很大，基本上是健康人）找出某种病毒的感染者，为减少检验次数（目的是降低
费用），通常采用筛选的办法。即假设人群总数为
n
，将人群分成
m
组，每组的人数为
k
，将每组的
k
份血样混在一起进行化验，若化验结果呈阳性，则需要对改组的每个人重新进行化验，以确定谁是病毒
感染者；若化验结果呈阴性，则表明该组全体成员均为阴性，不需要重新化验。
（1） 已知阳性的先验概率为
p
，当
p
固定时，如何分组可使得化验次数最小；
（2） 找出不应分组的
p
的取值范围；
（3） 讨论两次分组的情况，即检测为阳性的组再次分组检验的情况。
2． 问题的分析
本问题所述的情况在医学统计、病毒检测等诸多医学问题中是必须首要解决的问题。进行某种疾病
的调查需要大量的统计数据，而统计数据的取得主要靠实验的方法，这就不可避免地要面临如何分组的
问题是效率最高（花销最少），找出最优分组方法是本文的主要目的。
由于人群总体数固定，在讨论问题时，我们可以借助于平均每人检验次数这个量来衡量分组与不分
组情况的好坏，这是概率模型的主要思路。对于该问题，若不分组，一个人一个人检验，共需检验
n
次，
平均每个人检验一次；采取分组的方法，直观上可以感觉到会降低检验次数。分组时计算每个人的平均
检验次数，若该值小于 1，即认为分组比不分组好。对于两次分组的问题，也采用上述思路，只要两次
分组时平均每个人检验次数小于一次分组时平均每个人的检验次数，就可以认为两次分组的方法优于一
次分组的方法。
3． 模型假设
下面给出该模型的基本假设：
（1） 在实际操作中，多次分组的方法要比只分一次组或不分组的方法操作起来繁琐、耗时，且需要
更多的人力把工作的重点放在分组的方案上，实际增加了开支。所以若在人数不太多，且两种
方法平均每人检验次数相近，宏观上解释就是当不分组或不继续分组比分组或继续分组的次数
少或二者差距不大时，使用少分组的方法效率更高、费用更省。本题由于叙述了人数很大的条
件，故哪种方法平均每人检验次数少，就采用那种方法；
（2） 可以理解先验概率
p
为对某个人检验一次，结果呈阳性的概率，并假设先验概率在一次检验中
保持不变（即假设该概率
p
只与疾病有关，而对同一种疾病该值为常量）；
（3） 每个人检验一次是阳性的概率相互独立（即不考虑是否有遗传性与病毒的传染）；
（4） 为了简化模型便于讨论分析，假设每次分组时都能达到平均分配，而且在进行再次分组时采用
的对呈阳性的组进行组内分组的形式。这在实际中是普遍采用的一种方法，它比把呈阳性的组
的人重新打乱再进行分组的效率高出很多而且易被人接受。如果设
1
mm、
分别表示第一、二次
分组时分出的组数，
1
kk、
分别表示第一、二次分组每组的人数，则第一次分组总人数
kmn =
，第二次分组的总人数
11
kmk =
。可以通过调整
1
,kk
的值实现最优分组方案。
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