### UKF在MATlab下的实现
#### 一、实验综述与UKF基本原理
无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter, UKF）是一种处理非线性系统的有效滤波方法。传统的卡尔曼滤波适用于线性系统，而实际应用中的许多系统都具有非线性特性。UKF通过引入所谓的sigma点（σ点）来逼近非线性变换后的概率分布，从而避免了对非线性方程的泰勒级数展开所带来的高阶项误差问题。
**UKF的工作原理：**
1. **状态分布表示：** UKF仍然用高斯随机变量表示状态分布，但是它使用一组特定选择的样本点（sigma点）来描述这个分布。
2. **sigma点的选择：** 这些sigma点从系统状态的概率密度函数中选取，能够有效地表示系统的不确定性。
3. **非线性变换：** sigma点按照系统的非线性模型进行演化，得到新的sigma点集，这些新点的均值和方差接近于真实状态的均值和方差。
4. **更新步骤：** 根据新的sigma点集来更新状态估计及其协方差矩阵。
#### 二、仿真环境设置
本实验设置了两种不同的仿真环境来验证UKF的有效性和适用范围。
**1. 仿真环境1：**
- **描述：** 一维线性直线匀加速运动，初始速度为0，位置为0，加速度为1。
- **误差：** 速度、位置和加速度均有一定程度的误差，误差系数约为0.3。
- **测量：** 只能检测到当前的速度，干扰较大。
- **状态方程：**
\[
\begin{bmatrix}
x_{1,k+1} \\
x_{2,k+1} \\
x_{3,k+1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & \Delta t & 0.5(\Delta t)^2 \\
0 & 1 & \Delta t \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1,k} \\
x_{2,k} \\
x_{3,k}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
w_1 \\
w_2 \\
w_3
\end{bmatrix}
\]
- **测量方程：**
\[
z_k = h(x_k) + v_k = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1,k} \\ x_{2,k} \\ x_{3,k} \end{bmatrix} + v_k
\]
**2. 仿真环境2：**
- **描述：** 二维平面的匀加速运动，初始位置为（0.3, 0.2），速度为X轴为1，Y轴为2，加速度为X方向为2，Y方向为-1。
- **测量：** 测量方程为非线性，可以同时检测当前位置、速度和加速度。
- **状态方程：**
\[
\begin{bmatrix}
x_{1,k+1} \\
x_{2,k+1} \\
x_{3,k+1} \\
x_{4,k+1} \\
x_{5,k+1} \\
x_{6,k+1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \Delta t & 0 & 0.5(\Delta t)^2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \Delta t & 0 & 0.5(\Delta t)^2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \Delta t & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \Delta t \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1,k} \\
x_{2,k} \\
x_{3,k} \\
x_{4,k} \\
x_{5,k} \\
x_{6,k}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
w_1 \\
w_2 \\
w_3 \\
w_4 \\
w_5 \\
w_6
\end{bmatrix}
\]
- **测量方程：**
\[
z_k = h(x_k) + v_k = \begin{bmatrix} (x_{1,k}+1)^{0.5} \\ 0.8x_{2,k}+0.3x_{1,k} \\ x_{3,k} \\ x_{4,k} \\ x_{5,k} \\ x_{6,k} \end{bmatrix} + v_k
\]
#### 三、实验结果分析
**1. 仿真环境1的结果：**
- 在线性系统中，尽管只有当前速度变量x2的测量值，系统仍能较好地估计出当前的位置和加速度。这表明即使在测量信息有限的情况下，UKF也能提供有效的状态估计。
**2. 仿真环境2的结果：**
- 在非线性测量系统中，即使测量方程存在较大的随机误差，UKF也能很好地估计出位置和速度等状态变量。这证明了UKF在处理非线性问题时的强大能力。
#### 四、MATLAB源代码
下面给出了一个简化的UKF实现代码示例：
```matlab
function [x, P] = ukf(fstate, x, P, hmeas, z, Q, R)
%UKF Unscented Kalman Filter for nonlinear dynamic systems
%[x, P] = ukf(f, x, P, h, z, Q, R) returns state estimate, x and state covariance, P
%fornonlinear dynamic system (for simplicity, noises are assumed as additive):
%x_k+1 = f(x_k) + w_k
%z_k = h(x_k) + v_k
%where w ~ N(0, Q) meaning w is gaussian noise with covariance Q
%v ~ N(0, R) meaning v is gaussian noise with covariance R
% ... (省略中间具体实现细节)
% Return the updated state estimate and covariance
end
```
通过以上实验设计和结果分析，我们可以看到UKF作为一种强大的非线性滤波技术，在不同类型的系统中都能表现出良好的性能。无论是线性系统还是非线性系统，只要系统具有可观测性，UKF就能有效地进行状态估计。
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