【变量间的相关关系】在统计学中,变量间的相关关系是指两个或多个变量之间存在的某种依存关系,这种关系表现为一个变量的值变化时,另一个变量的值也随之变化。相关关系分为正相关(一个变量增加,另一个变量也增加)和负相关(一个变量增加,另一个变量减少)。例如,在问题3中提到,如果变量x与y正相关,那么随着x的增加,y也会增加。
【线性相关】线性相关是指两个变量间的关系可以用一条直线来近似表示。在散点图中,如果点大致沿一条直线分布,无论是从左上到右下(正相关)还是从左下到右上(负相关),那么这两个变量就具有线性相关性。例如,题目1中的选择题要求判断哪些散点图显示了线性相关。
【回归方程】回归方程是描述变量间线性关系的数学表达式,通常形式为y = ax + b,其中y是对x的预测值,a是斜率(表示x每变化一个单位,y的平均变化量),b是截距(y轴上的截距)。例如,在问题2和5中,给出了回归方程,用于预测未知数据点的y值。
【样本平均数】样本平均数是所有样本值相加然后除以样本数量,它是描述一组数据集中趋势的重要统计量。在问题3中,x和y的样本平均数分别为3和3.5,这是计算回归方程的基础。
【样本数据与散点图】在问题4中,通过绘制散点图并观察点的分布,可以判断回归方程中斜率的正负,进而确定y关于x的增减趋势。
【回归方程的局限性】回归方程虽然能提供变量间的大致关系,但并不适用于所有情况,如异常值的影响、非线性关系等。在问题6中,提到了回归方程的局限性和适用范围,回归方程的预测值是近似值而非精确值。
【回归方程的计算】在问题7和8中,展示了如何利用最小二乘法计算回归方程的斜率和截距。通过计算离均差平方和以及它们的总和,可以得出回归方程的参数,进而对未知数据进行预测,如预测嫌疑人身高或孙子的身高。
这些练习题主要涵盖了变量间相关关系的概念、线性相关性的判断、回归方程的建立与应用,以及回归方程的局限性。这些都是高中数学统计课程中的核心内容,旨在帮助学生理解和应用统计方法来解决实际问题。