幂函数及其性质知识点总结经典讲义及配套练习-4页.pdf
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幂函数是数学中的一种基本函数形式,其表达式为y=xα,其中x是自变量,α是常数。这个定义涵盖了所有形式为幂的函数。幂函数具有以下显著性质: 1. **恒过点 (1,1)**:无论α为何值,当x=1时,y总是等于1。 2. **图像分布**: - 当α>0时,幂函数在(0,+∞)上单调递增。 - 当α<0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减。 3. **对称性与单调性**: - 第一象限内,随着x=1右侧的增加,若α为正数,图象从上至下移动;若α为负数,图象从下至上移动。 - 对于偶数α,函数y=xα是偶函数,对y轴对称;对于奇数α,函数y=xα是奇函数,关于原点对称。 基础训练中的题目涉及到幂函数的识别、性质应用和具体计算。例如: 1. 题目要求找出幂函数,只有B选项y=x5符合定义。 2. 要求找到使函数y=(m2+2m-2)xm+2+2n-3成为幂函数的m和n值,解得m=1,n=2。 3. 幂函数f(x)=xα的图象经过点 (9,3),可以得出α=1/2,因此f(100)=100^(1/2)=10。 4. 函数y=x在(-∞, 0)上为增函数,排除A;y=x2和y=x12在(-∞, 0)上为减函数,但题目要求的是幂函数,所以选D。 5. 函数y=x-2的定义域包含所有实数,选A;y=x12的定义域为[0,+∞),y=x2的定义域也为所有实数,但y=x-1的定义域不包含0,排除D。 6. 函数y=x53的图象是单调递增的,且在第一象限,选B。 7. 既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是y=x-2,选A。 8. 函数y=x-2在[12,2]上的值域为[1/4,1]。 9. 使幂函数定义域为R且为奇函数的α值集合为{-1, 1}。 例题精析中,通过观察幂函数图象的形状和α的正负,可以确定C1,C2,C3,C4对应的α值。 变式训练考察了幂函数的性质应用和图形分析。例如,幂函数y=x12的图象将第一象限分为四个部分,它会经过①,③,⑤,⑦这四个“卦限”。 在比较大小和填空的题目中,需要理解幂函数的指数规则和负指数的含义。例如,(23)12>(34)12,(-23)-1>(-35)-1,(-2.1)37>(-2.2)-37。 解决函数解析式的求解和幂函数的单调性问题,需要结合幂函数的性质和函数的增减性。例如,若f(x)=(t 3-t+ 1)x12(1-4t-t2)是偶函数且增函数,可得出t的值,同样,对于函数f(x)=(m2-m-1)x-m+1,根据条件m2-m-1=1且-m+1<0,可以找到m的取值范围。 课后作业主要检验对幂函数的理解和应用能力,包括计算、图像分析以及函数性质的应用。 总结,幂函数的掌握要求包括但不限于定义、性质、图像特点、单调性、奇偶性以及比较大小的能力。通过这些练习,可以巩固和深化对幂函数的理解,为进一步学习其他数学概念打下坚实基础。
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