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线性代数考试题型及范围【超完整版】.doc
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线性代数考试题型及范围【超完整版】.doc
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. .
线性代数考试题型及围:
一、填空
1、矩阵 A 或 B,求 A 与 B 之间的运算,如 AB,A 逆 B 逆,kA
2、方阵 A,求 A 的行列式,A 的伴随矩阵,A 的伴随矩阵的行列式
3、求向量组的秩
4、求矩阵 A 的相似矩阵 B 的行列式
5、其次线性方程组有非零解的充要条件
二、选择
1、同阶方阵 A、B 的运算性质
2、两个相似矩阵 A B 的性质
3、关于向量线性相关性的选择题
4、非齐次方程组的特解与其齐次方程组的根底解系之间的关系
5、二次型正定性的判定
三、计算题
1、行列式的计算
2、求 A 的逆矩阵
四、解答题
1、求向量组的极大线性无关组
2、用根底解析求方程组的通解
五、给定实对称矩阵 A,求可逆阵 P,使 P-1AP 为对角阵
六、证明题:〔关于矩阵,具体容未知〕
记住这些话:
第一句话:题设条件与代数余子式 Aij 或 A*有关,那么立即联想到用行列式按行〔列〕展
开定理以及 AA*=A*A=|A|E 。
第二句话:假设涉及到 A、B 是否可交换,即 AB=BA,那么立即联想到用逆矩阵的定义
去分析。
第三句话:假设题设 n 阶方阵 A 满足 f(A)=0,要证 aA+bE 可逆,那么先分解出因子
aA+bE 再说。
jz*
. .
第四句话:假设要证明一组向量 α1,α2,…,αs 线性无关,先考虑用定义再说。
第五句话:假设 AB=0,那么将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理再说。
第六句话:假设由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零再说。
第七句话:假设 A 的特征向量 p,那么先用定义 Ap=λp 处理一下再说。
第八句话:假设要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵,那么用定义处理一下再说。
"线性代数"复习提纲
第一局部:根本要求〔计算方面〕
四阶行列式的计算;
N 阶特殊行列式的计算〔如有行和、列和相等〕;
矩阵的运算〔包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算〕;
求矩阵的秩、逆〔两种方法〕;解矩阵方程;
含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解〔包括唯一、无穷多解〕;
讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;
将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;
通过正交相似变换〔正交矩阵〕将对称矩阵对角化;
写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;
判定二次型或对称矩阵的正定性。
jz*
. .
第二局部:根本知识
一、行列式
1.行列式的定义
用 n^2 个元素 aij 组成的记号称为 n 阶行列式。
〔1〕它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和;
〔2〕展开式共有 n!项,其中符号正负各半;
2.行列式的计算
一阶|α|=α 行列式,二、三阶行列式有对角线法那么;
N 阶〔n>=3〕行列式的计算:降阶法
定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比拟简单的一行〔列〕,保保存一个非零元素,其余元素化为 0,利用定理展
开降阶。
特殊情况
〔1〕上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;
〔2〕行列式值为 0 的几种情况:
Ⅰ 行列式某行〔列〕元素全为 0;
Ⅱ 行列式某行〔列〕的对应元素一样;
Ⅲ 行列式某行〔列〕的元素对应成比例;
Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二.矩阵
1.矩阵的根本概念〔表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等〕;
2.矩阵的运算
〔1〕加减、数乘、乘法运算的条件、结果;
〔2〕关于乘法的几个结论:
① 矩阵乘法一般不满足交换律〔假设 AB=BA,称 A、B 是可交换矩阵〕;
② 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;
③ 假设 A、B 为同阶方阵,那么|AB|=|A|*|B|;
jz*
. .
④|kA|=k^n|A|
3.矩阵的秩
〔1〕定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;
〔2〕秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论:
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数〔每行的第一个非零
元所在列,从此元开场往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵〕。
求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4.逆矩阵
〔1〕定义:A、B 为 n 阶方阵,假设 AB=BA=I,称 A 可逆,B 是 A 的逆矩阵〔满足半
边也成立〕;
〔2〕性质: (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(A B 的逆矩阵,你懂
的)〔注意顺序〕
〔3〕可逆的条件:
① |A|≠0; ② r(A)=n; ③A->I;
〔4〕逆的求解
伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A* A 的伴随矩阵~)
② 初等变换法〔A:I〕->(施行初等变换)〔I:A^-1〕
5.用逆矩阵求解矩阵方程:
AX=B,那么 X=〔A^-1〕B;
XB=A,那么 X=B(A^-1);
AXB=C,那么 X=(A^-1)C(B^-1)
三、线性方程组
1.线性方程组解的判定
定理:
jz*
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zdxlya87
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