2010水木艾迪《微积分》春季基础班讲义（无水印，无下标）资源-CSDN文库

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水木艾迪

高数基础班

2010

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10水木基础班-高数讲义

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2010考研数学基础班讲义－微积分第十一讲.pdf 221KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第四讲.pdf 451KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第八讲.pdf 218KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第十八讲.pdf 519KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第十二讲.pdf 252KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第九讲.pdf 232KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第二讲.pdf 507KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第六讲.pdf 403KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第十七讲.pdf 351KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第七讲.pdf 216KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第十三讲.pdf 506KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第十五讲.pdf 263KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第三讲.pdf 376KB

2010考研数学基础班讲义－微积分第十讲.pdf 206KB

基础班微积分辅导第 14 章

三重积分，曲线积分 1

三重积分：概念、性质、计算及应用背景：三维物体质量

14.1 三重积分的概念及性质

⊂

定义14.1 设函数在有界闭区域

),,( zyxf

上有定义, 且有界, 若:

−=

ΔΩ∈,

sup

≤≤

max

, 记 , ; (1) 任意分割区域

,,,1,),,( ni

iiii

L=ΔΩ

∈

(2) 任取

刘坤林谭泽光编

（3）作和式 , 其中

∑

Δ=

iiiin

VfS

),,(

ςηξ

Ω为的体积;

(4) 若极限存在,

且极限值与区域分割的任意性和点

∑

→→

Δ=

iiiin

),,(limlim

σςηξ

λλ

,,,1,),,( ni

iiii

L=ΔΩ∈

选值的任意性无关, 则称函数在区域上可积, 该极

限值称为函数在区间上的三重积分, 记作

),,( zyxf

∑

∫∫∫

→

Δ=

iiii

VfdVzyxf

),,(lim),,(

ςηξ

Ω 称为积分区域, 称为被积函数,

),,( zyxf zy

称为积分中间变量, 体积元素又记

作 . 三重积分的值与积分中间变量的符号无关:

dxdydz

∫∫∫∫∫∫

ΩΩ

= dudvdwwvufdxdydzzyxf ),,(),,(

连续函数一定在有界区域内可积。

z 简单性质

：线性性，保序性，估值性，中值定理，对积分区域的可加性

（1）对积分区域的可加性: 设在区域

),,( zyxf

和上可积, 无内点, 则

在

),( yxf

上可积,且

∫∫∫

Ω∪Ω

),,( dxdydzzyxf +

∫∫∫

),,( dxdydzzyxf

∫∫∫

),,( dxdydzzyxf

（2）对被积函数满足线性性:

[]

∫∫∫

dxdydzzyxBgzyxAf ),,(),,(

∫∫∫

dxdydzzyxfA ),,(

∫∫∫

dxdydzzyxgB ),,(

（3）保序性: 若可积函数

∈

∀

≥ ),,(,0),,( zyxzyxf

, 则. 。

0),,( ≥

∫∫∫

dxdydzzyxf

以下（4）---（6）为保序性的推论：

∈

∀

≥ ),,(),,,(),,( zyxzyxgzyxf

, 则（4）若可积函数

≥

∫∫∫

dxdydzzyxf ),,(

∫∫∫

dxdydzzyxg ),,(

。

（5）估值定理: 若可积函数在

),,( zyxf Mzyxfm

≤

),,(

上满足 , 则

≤≤

∫∫∫

MVdxdydzzyxfmV ),,(

（6）其中为 Ω 区域的体积. 进一步, 若函数在

),,( zyxg

上非负可积, 则

dzdxdyzyxgMdzdxdyzyxgzyxfdzdxdyzyxgm

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

ΩΩΩ

≤≤ ),,(),,(),,(),,(

),,( zyxf

刘坤林谭泽光编

（7）若在上可积, 则

),,( zyxf

在上也可积, 且

≤

∫∫∫

dxdydzzyxf ),,(

∫∫∫

dxdydzzyxf ),,(

。

（8）中值定理: 若函数在

),,( zyxf

上连续, 在

),,( zyxg

上取定号且可积, 则

Ω∈∃ ),,(

,使

∫∫∫∫∫∫

ΩΩ

= dxdydzzyxgfdxdydzzyxgzyxf ),,(),,(),,(),,(

ςηξ

1),,(

≡

zyxg

∈

∃ ),,(

特别地,

时, 使

ΩΩ

∫∫∫∫∫∫

Vfdzdxdyfdxdydzzyxf ),,(),,(),,(

ςηξςηξ

其中为

Ω 区域的体积.

dzdxdyV

∫∫∫

−

（9）若

Ω 区域关于平面对称, 可积函数满足

),,( zyxf ),,(),,( zyxfzyxf −=

−

则

0),,( =

∫∫∫

dxdydzzyxf

−

若

区域关于平面对称, 可积函数满足

),,( zyxf ),,(),,( zyxfzyxf

−

, 则

∫∫∫∫∫∫

ΩΩ

),,(2),,( dxdydzzyxfdxdydzzyxf

其中为

Ω 的上半区域。

14.2 三重积分的计算——化成累次积分

1．在直角坐标系下，

先一后二（压缩成饼干再求质量）：

。把区域

投影到

平面，得投影区域 →过内

部的点作平行于轴的直线族，这些直线重曲面

∑

穿入

，从另外一个曲面穿出

∑

(

)(

,,:,,

)

设、的方程分别为

∑

== yxzzyxzz 于是

；

() ()

()

dxdzdzzyxfdxdydzzyxf

yxz

∫∫ ∫∫∫∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

,,,,

先二后一（收缩成面条再求质量）：若按先重积分，后定积分的方法把三重积分

化为三次积分，则确定积分限的步骤是（以先对

()

dxdydzzyxf

∫∫∫

、作二重积分为

例）：设平面与相切，

(

)

dkckz

→

dzcz == ,

用截

，得到上的一

块区域，于是，

kz =

() ()

()

dzdxdyzyxfdxdydzzyxf

∫∫∫∫∫∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

,,,,

()

例14.1 求

,)(

∫∫∫

+ dxdydzyx

{}

0,0,0,1|),,( ≥≥≥≤++=Ω zyxzyxzyx

，（四面体----三角域）

【解】解法一先一后二：

{}

10,10,10|),,(

≤

−

≤

−

≤

=Ω xxyyxzzyx

∫

∫∫

∫∫∫∫∫∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+−+=

−−+=

+=+

−

−−−

326

)(

)1)((

)()(

yxyxdx

dyyxyxdx

dzyxdydxdxdydzyx

yxx

解法二: 先

二后一：

{

}{}

zyxyxyxDyxzzyx

−≤+≥≥=∈≤≤=Ω 1,0,0),(),(,10|),,(

∫∫∫∫∫∫

+=+

dxdyyxdzdxdydzyx )()(

)1(

)(

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−+−−=

∫∫

∫∫∫

−

−−−

zxz

dxzxzxxdz

dyyxdxdz

222

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∫∫∫

dxdydz

刘坤林谭泽光编

例14.2 求 , 其中

为锥面

与平面所围成的区域在第一卦限的部分.

)0( >= ccz

【解】积分区域

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤≤≤≤

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≤≤ czz

axzyx 0,0,0|),,(

=Ω

∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

cba

xdxydydz

dxdy

dzdxdydz

0000

362

当然, 还有其它方法

cba

dxdydxdydz

∫∫∫∫∫∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= 1),(

yxD

其中

14.3 坐标变换

1．在柱面坐标系下，

z 在柱坐标系下的三重积分化为三次积分

若三重积分积分区域在柱坐标系下的表达形式为

(

)

(

)

(

)({})

,,,,|),,(

2121

zzzz

≤

≤=Ω

则三重积分

()

(

)

()

∫∫ ∫∫∫∫

ϕρ

ρϕρϕρρϕ

),sin,cos(),,(

dzzfdddxdydzzyxf

() ( )

()

(

)

ϕρϕρϕρρ

ρϕ

ϕρ

dddzzfdxdydzzyxf

∫∫ ∫∫∫∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

,cos,cos,,

先一后二：

先二后一：

() ( )

dzddzfdxdydzzyxf

∫∫∫∫∫∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅=

ϕρρϕρϕρ

,cos,cos,,

注柱坐标系下三重积分的计算与直角坐标系下是完全类似的，只是将对应成极

坐标而已。

(

yx,

)

()

{

}

Hzyxzyx ≤≤+=Ω

|,,

例14.3 求 ,其中

∫∫∫

++ zdxdydzyx )1(

【解】用柱坐标,

{}

HzHz

≤

,0,20|),,(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=+++

∫∫∫∫∫∫

124

)1()1(

222

dzzddzdxdydzyx

πρρρϕ

[

]

∫∫∫

++= dxdydzyxfztF )()(

222

例14.4 设在上连续,

)(tf ),0[ +∞

,其中

)(

lim

→

{

}

)0(,0|),,(

222

>≤+≤≤=Ω ttyxhzzyx .求 .

[]

∫∫∫∫

+=+=

tht

dfht

dzfzddtF

)(2

)()(

ρρρπ

ρρρϕ

【解】用柱坐标, ，

)0(

)(

lim2

)(

lim

ρρρ

+=+=

∫

→→

用 L’Hospital 法则, .

z 在球坐标

系下的三重积分化为三次积分

球坐标系为

其中

πθ

πϕ

≤≤

≥

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ϕθ

cos

sinsin

cossin

若三重积分的积分区域在球坐标系下的表示为

Ω , 则三重积分

∫∫∫∫∫∫

sin)cos,sinsin,cossin(),,(

θϕθθϕθϕθ

ddrdrrrrfdxdydzzyxf

2．在球面坐标系下，通常采取的积分次序是先积

，积的定限方法是这样的：作从

原点出发的射向族，这些射线从曲面

(

)

∑

θϕ

rr 进入

（原点为）从曲面

穿出，则有

0=r

(

∑

θϕ

)

刘坤林谭泽光编

()

θϕϕϕθϕθϕ

θϕ

dddrrrrrf

dxdydzzyxf

∫∫ ∫

∫∫∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅=

),(

sincos,cossin,cossin

)0()cos1(

≤

+= ar

例14.5 求心脏线与极轴所围的图形绕极轴旋转所得的体

积。

刘坤林谭泽光编

{

}

πϕπθθθϕ

20,0,cos1(0|)),,(

≤≤≤≤+≤≤=Ω arr【解】

)cos1(

sin1

adrrdddvV

πθθϕ

ππ θ

==⋅=

∫∫∫∫∫∫

。

例14.6 求三重积分: ,其中

(

dvzyxI

∫∫∫

++=

)

()

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+≤

−−≤≤

=Ω

yxz

zyz

zyx

(

)

dvzyxI

∫∫∫

++=

【解】由函数与域的对称性； =

dvz

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

===

sincos

θθϕθ

drrrdddvzI

球坐标系: ;

∫∫∫

−

ρρϕ

zdzddI

柱坐标系: ;

∫∫∫

−−

−

−−

−

zdzdydxI

直角坐标系:

()

ππ

=−⋅+==

∫∫ ∫∫∫

dzzzdzzzdxdydzI

y 积分: 先对

例14.7 已知 ,其中为可微函数,求 .

∫∫∫

≤++

++=

2222

)()(

222

tzyx

dxdydzzyxftF )(tF

′

)(uf

【解】用球球坐标系,

∫∫∫∫

dfdfddtF

)(4)(sin)(

ρρρπρρρϕθθ

ππ

)(4)( ttftF

′

例 14

.8 设由曲面和曲面

Ω zyx 2

4 yxz +−=

所围成，将化为

三种坐标系下的三次积分，其中为连续函数。

()

dvzyxf

∫∫∫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+−=

yxz

zyx

⎩

⎨

⎧

⇒

【解】

评论收藏

内容反馈

wydsy001

2014-01-10

讲的挺细，可惜现在木有新版了，因为辅导班不办了。
dudu614126

2014-09-26

这个资源很完整很干净之前从网上找到的讲义第三章不全很满意

无路不荆棘

粉丝: 15
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