【等边三角形的性质与判定】
等边三角形是三角形的一种特殊形式，其中所有三条边都相等，同时也意味着三个内角也都相等。等边三角形的性质包括：
1. **三边相等**：每个边的长度都相同。
2. **三内角相等且均为60°**：由于内角和为180°，所以每个角都是60°。
3. **对称性**：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，分别是每条边的中线、高线和角平分线。
4. **底边上的高、中线和角平分线重合**：这是等腰三角形的一个推论，对于等边三角形同样适用。
5. **等边三角形的外心、内心和重心都位于同一个点**，这个点称为三角形的中心。
等边三角形的判定方法有：
1. **三边相等**：如果一个三角形的三条边长度相等，那么它是等边三角形。
2. **三个角相等**：如果有三个角都等于60°，则该三角形为等边三角形。
3. **等腰三角形的一个角为60°**：如果一个等腰三角形的顶角是60°，那么它也是等边三角形。
在解题中，这些性质和判定方法常用于证明和计算。例如：
- 在例1中，通过证明DM是BC的中垂线并利用等腰三角形的性质，可以得出M是BE的中点。
- 例2中，利用CADCDB，可以推断出D是BC的中点，进而得出BAC的度数是60°。
- 例3中，通过相似三角形的性质，可以证明DCB等于2倍的BAC。
- 例4中，因为BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，可以证明BCBDAD。
- 例5中，由于两个三角形都是等边的，可以得出对应边相等和角相等，从而证明所求。
**线段的垂直平分线和角平分线的性质及应用**
1. **线段的垂直平分线性质定理**：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
2. **逆定理**：如果一个点到线段两端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上。
3. **尺规作图**：可以通过尺规作图找到线段的垂直平分线。
4. **三角形的外心**：外心是三角形三边中垂线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。
5. **角分线性质定理**：角平分线将角分成两个相等的角。
6. **逆定理**：如果一个点将角分成两个相等的角，则这个点在角的平分线上。
7. **尺规作图**：同样可以用尺规作图来构造角的平分线。
8. **三角形的内心**：内心是三角形三边角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等。
在实际问题中，如例1和例2，垂直平分线的性质用于解决距离相等问题，而例3则可能需要利用角平分线的性质进行作图。通过理解并灵活运用这些性质和判定，可以有效地解决几何题目。
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