一次函数与等腰直角三角形.docx

### 一次函数与等腰直角三角形知识点详解 #### 1. 等腰直角三角形的性质与坐标几何结合的应用 **题目描述**： - 在等腰直角三角形△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC。点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）。求B点的坐标。 **解题思路**： - 由于AC=BC且ACB为直角，因此可以推断出A、B、C三点构成的是等腰直角三角形。 - 通过坐标计算可以得知向量AC的方向，从而可以推算出向量CB的方向。 - 因此，可以根据点C的坐标以及向量CB的方向来计算出点B的坐标。 **详细解析**： - 向量AC = (-6 - (-2), 3 - 0) = (-4, 3) - 由于AC=BC且ACB为直角，向量CB应该与向量AC方向相反且长度相等。 - 因此，向量CB = (4, -3) - B点坐标为 C + CB = (-2 + 4, 0 - 3) = (2, -3) **知识点总结**： - **等腰直角三角形的性质**：等腰直角三角形的两个非直角边长度相等，且夹角为90度。 - **坐标几何的应用**：利用点的坐标进行向量计算，进而求解未知点的位置。 #### 2. 滑动过程中等腰直角三角形的动态分析 **题目描述**： - 将一个等腰直角三角尺放入固定“U”型槽ADEB中，使得三个顶点A、B、C分别在槽的两壁与底边上滑动。 - 分析滑动过程中三角形的性质变化。 **解题思路**： - (1) 需要证明滑动过程中三角形的全等性。 - (2) 分析滑动过程中四边形ABED面积的变化情况。 - (3) 基于以上结论解决直线绕点旋转的问题。 **详细解析**： - (1) 由于三角尺的形状固定，且滑动过程中三边长度不变，故滑动过程中三角形始终全等。 - (2) 四边形ABED的面积不会发生变化。原因在于，无论三角尺如何滑动，三角形ABC的面积保持不变，而四边形ABED的面积等于三角形ABC的面积加上梯形ABDE的面积，而梯形ABDE的高（即AD和BE之间的垂直距离）保持不变，因此总面积不变。 - (3) 直线绕A点顺时针旋转后，可通过旋转前后的角度差和点A的位置来确定新的直线方程。 **知识点总结**： - **全等三角形的判定**：边边边（SSS）条件可以用来证明两个三角形全等。 - **图形面积的计算**：四边形面积可以通过分解成多个简单图形（如三角形）来计算。 - **直线旋转**：直线绕某点旋转的角度决定了旋转后的直线位置。 #### 3. 直线绕定点旋转后的方程求解 **题目描述**： - 已知直线与y轴交于点A，该直线绕点A顺时针旋转至新位置，求旋转后的直线方程。 **解题思路**： - 通过旋转前后的直线与x轴或y轴的交点，结合旋转角度来确定旋转后的直线斜率。 - 使用点斜式方程来求解旋转后的直线方程。 **详细解析**： - 设旋转前的直线方程为y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。 - 旋转后直线的斜率可通过旋转前后的角度差计算得出。 - 旋转后的直线方程形式仍为y = m'x + b'，其中m'和b'需要通过点A和旋转后的斜率来确定。 **知识点总结**： - **直线方程的形式**：一般形式为y = mx + b，其中m为斜率，b为y轴截距。 - **旋转后的直线斜率**：通过旋转前后的角度差来计算。 - **点斜式方程**：已知直线上的一个点和斜率，可以直接求解直线方程。 #### 结论 通过对上述题目的解析，我们不仅加深了对等腰直角三角形及其在坐标几何中应用的理解，还掌握了如何利用坐标几何解决问题的方法。同时，还学习了如何分析图形在动态变化过程中的性质，以及如何求解直线绕定点旋转后的方程。这些知识点对于深入理解平面几何和坐标几何的基础概念非常重要。