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基于小波分析的光谱数据去噪

1.1 课题背景与意义

光谱分析法是以辐射能与物质组成和结构之间的在联系与表现形式—光谱的测量为基础，利

用光谱来分析样品的物质组成，属性或者物态信息的技术。由于光谱分析技术具有分析速度快，精

度高，结果稳定，无破坏等优点，在化工、农业、医学等领域得到越来越广泛的应用

[1],[2]

。

由于在光谱测量过程会中受到仪器，样品背景，各种干扰等随机因素的影响，得到的光谱数

据中不可避免的含有噪声，如果不加以处理，会影响校正模型建立的质量和未知样品预测结果的准

确性。通过对光谱数据的去噪预处理，可以减少噪声的影响，提高模型的稳定性。通常采用的去噪

方法包括平滑，傅立叶分析等。其中光谱平滑的目的是消除高频随机误差，其基本思路是在平滑点

的前后各取若干点来进行“平均”或“拟合”，以求得平滑点的最佳估计值，消除随机噪声，这一方法

的基本前提是随机噪声在处理“窗口”的均值为零。这种平滑的方法可有效地平滑高频噪声，提高信

噪比，但是它对有效信号也进行平滑，容易造成信号失真，降低了光谱分辨率，而且光谱的两端不

能进行平滑，因此存在一定的局限性。傅立叶分析对数据处理应用的主要目的是加快信息的提取过

程，通过压缩数据使得信息提取更加有效，同时去除干扰和噪声。在传统的信号处理中，傅立叶分

析是数据预处理的主要手段，但是傅立叶分析只能获得信号的整个频谱，不能得到信号的局部特性，

不能充分刻画动态的非平稳信号的特征

[3]

。而小波分析可以把各种频率组成的混合信号按照不同的

分辨尺度分解成一系列不同频率的块信号。由此可对特殊频率围的噪声进行滤波处理，小波分析灵

活滤波的特性是其它方法无法比拟的。小波分析是从傅立叶分析的基础上发展以来的，通过引入可

变的尺度因子和平移因子，在信号分析时具有可调的时频窗口，巧妙地解决了时频局部化矛盾，弥

补了傅立叶分析的不足，为信号处理提供了一种多分辨率下的动态分析手段。由于小波分析对信号

的分时分频的精细表达和多分辨率分析的特点，即有用信号和噪声信号在不同尺度上呈现不同的视

频特征或者传播行为，根据这些特征的不同，可以将有用信号提取出来。小波算法能够满足各种去

噪要求，如低通，高通，随机噪音的去除等

[4],[5]

。

1 / 26

.

2 小波分析的理论基础与去噪方法的解析

本节主要介绍了小波分析的基本理论以与小波分析对一维信号进行消噪处理，其中理论部分包

括连续小波分析，小波分析和傅立叶分析的比较，常用小波的介绍以与多分辨率分析在小波分析理

论中的作用。运用小波分析进行一维信号的消噪处理是小波分析的一个重要应用，尤其是在光谱数

据预处理去噪中有着广泛的应用。主要有基于小波分析的局部极大值点去噪和基于阈值去噪的两种

技术。Mallat提出了通过寻找小波分析系数中的局部极大值点，并根据此重构信号可以很好的逼近

原始信号。Donoho提出了基于阈值的小波去噪方法，先对信号进行小波分析，再对小波分析值进

行去噪处理，最后反分析得到去噪后的信号

[8],[9]

。

2.1 连续小波分析的基本概念

小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可变，时间窗和频率窗都可改变

的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具

有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。正是这种特性，使小波分析具有对信号的自适应性

[10]

。

小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，已经广泛地应用于信号处

理，图像处理，量子场论，地震勘探，语音合成与识别，音乐，雷达，CT 成像，彩色复印，流体

湍流，天体识别，机器视觉，机械故障诊断与监控，分形与数字电视等领域。原则上讲，传统上使

用傅立叶分析的地方都可以用小波分析来取代。小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频

域同时具有良好的局部化性质

[11]

。

设 , 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间，其傅立叶分析为

.当满足允许性条件(Admissiable Condition):

式2.1

时，我们称为基本小波或者小波母函数(Mother Wavelet)。将母函数经伸缩和平移后，

就可以得到一个小波序列。对于连续的情况，小波序列为：

式 2.2

其中，为伸缩因子，为平移因子。一般归一化，令。由于

，所以也单位化了。对于任意

的函数的连续小波分析为：

3 / 26

.

（2）平移不变性：若的小波分析为，则的小波分析为。

（ 3 ）伸缩共变性：若的小波分析为，则的小波分析为

。

（4）自相似性：对应于不同尺度参数和不同平移参数的连续小波分析之间是自相似的。

（5）冗余性：连续小波分析中存在信息表述的冗余度。

2.2 小波分析和傅立叶分析的比较

小波分析是傅立叶分析思想方法的发展和拓延，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，

可以说小波分析是一种广义上的傅立叶分析。小波分析的存在性证明，小波基的构造以与结果分析

都依赖于傅立叶分析，两者是相辅相成的，比较后有以下特点：

(1)傅立叶分析的实质是把能量有限的信号分解到以为正交基的空间上去；小波分

析的实质是把能量有限的信号分解到和所构成的空间上去。

(2)傅立叶分析用到的基本函数只有，，，具有唯一性；小波分析用

到的函数则不具有唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函

数的选用是小波分析应用中的一个难题，目前往往是通过经验和不断地实验来选择小波函数。

(3)在频域中，傅立叶分析具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定

性信号，傅立叶分析很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式。但是在时域中，傅立叶分析

没有局部化能力，即无法从信号的傅立叶分析中看出在任一时间点附近的形态。

事实上，是关于频率为的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由的整体性

态所决定的。

(4)在小波分析尺度中，尺度的值越大相当于傅立叶分析中的值越小。

(5)在短时傅立叶分析中，分析系数主要依赖于信号在片段中的情况，时

间宽度是 (因为是由窗函数唯一确定的，所以是一个定值)。在小波分析中，分析系数

主要依赖于信号在片段中的情况，时间宽度是，该时间宽度是随

着尺度变化而变化的，所以小波分析具有时间局部分析能力。

(6)如果用信号通过滤波器来解释，小波分析和傅立叶分析的不同之处在于：对短时傅立叶分

析来说，带通滤波器的带宽与中心频率无关；相反，小波分析带通滤波器的带宽则正比

于中心频率，即为常数亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等结构(

为滤波器的品质因数)

[16-18]

。

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莫怨67

2022-04-23

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