线性规划 算法分析讲解

线性规划算法分析讲解 线性规划是运筹学的一个重要分支，是运筹学中研究较早、发展较快、理论上较成熟和应用上极为广泛的一个分支。1947年G.B.Dantying提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划的理论与应用都得到了极大的发展。60年来，随着计算机的发展，线性规划已广泛应用于工业、农业、商业、交通运输、经济管理和国防等各个领域，成为现代化管理的有力工具之一。 线性规划问题及其数学模型 线性规划问题是指在一定的约束条件下，寻找一个或多个变量的最优解，以达到某种优化目标的数学模型。线性规划问题可以形式化地表达为： max/min z = cx s.t. Ax ≤ b x ≥ 0 其中，z是目标函数，c是 coefficient vector，A是系数矩阵，b是右端常数向量，x是决策变量。 线性规划问题的典型例子包括： 1. 资源的合理利用问题 例如，某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，要消耗A、B两种资源，已知每件产品对这两种资源的消耗，这两种资源的现有数量和每件产品可获得的利润如表1所示。 max z = 15x1 + 25x2 s.t. x1 + 3x2 ≤ 60 x1 + x2 ≤ 40 x1, x2 ≥ 0 2. 营养问题 例如，假定在市场上可买到B1,B2,…,Bn n种食品，第i种食品的单价是ci，另外有m种营养A1,A2,…,Am。设Bj内含有Ai种营养数量为aij(i=1~m,j=1~n)，又知人们每天对Ai营养的最少需要量为bi。见表2所示。 min z = ∑cjxj s.t. ∑aijxj ≥ bi (i=1,2,…,m) xj ≥ 0 (j=1,2,…,n) 线性规划的基本要素 线性规划的基本要素包括： 1. 决策变量：决策变量是指线性规划问题中的未知变量，也是我们关心的目标变量。 2. 目标函数：目标函数是指线性规划问题中的优化目标，也是我们希望达到或最小化的函数。 3. 约束条件：约束条件是指线性规划问题中的限制条件，也是我们必须满足的条件。 线性规划的应用 线性规划的应用非常广泛，包括： 1. 生产计划：线性规划可以用于生产计划的优化，使生产计划达到最优状态。 2. 物流管理：线性规划可以用于物流管理的优化，使物流成本最小化。 3. 金融管理：线性规划可以用于金融管理的优化，使投资回报最大化。 4. 供应链管理：线性规划可以用于供应链管理的优化，使供应链成本最小化。 线性规划是一种非常重要的优化技术，具有非常广泛的应用前景。