《统计回归模型》是数学建模中的重要章节，主要探讨如何通过统计分析方法来构建模型，以揭示数据间的关系并进行预测。在这个案例中，我们关注的是牙膏销售量与价格、广告投入之间的关系。
我们要理解回归模型的基本构成。在牙膏销售量的问题中，y表示公司牙膏的销售量，x1代表其他厂家与本公司牙膏的价格差，x2则代表公司的广告费用。这样的模型通常表示为：y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ε，其中β0、β1和β2是回归系数，ε是随机误差项，假设它服从均值为零的正态分布。
通过MATLAB的统计工具箱，我们可以运用`regress`函数来求解模型参数。例如，`[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x, alpha)`，这里的b是回归系数的估计值，bint是置信区间，r是残差向量，rint是残差的置信区间，stats则包含了R^2、F统计量和p值等检验统计量。在本例中，R^2=0.9054表明模型解释了数据90.54%的变异性，F统计量远大于临界值，p值极小，说明模型整体上显著。
分析模型结果发现，价格差x1和广告投入x2的回归系数都具有统计学意义，但x2的置信区间包括了零，意味着其对销售量的影响可能不显著。尽管如此，考虑到x2的右端点接近零，保留x2在模型中仍然合理。当设定价格差x1=0.2元，广告费x2=650万元时，可以预测销售量在7.8230至8.7636百万支之间，这个区间用于库存管理和现金流控制。
进一步改进模型时，考虑x1和x2的交互作用，即y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + β3*x1*x2 + ε，新模型的R^2提高到0.9209，这表明模型对数据的拟合度有所提升。当价格差x1=0.2元，广告费x2=6.5百万元时，预测区间变为7.8953至8.7592百万支，虽然预测区间的长度略有增加，但模型的预测精度得到了提高。
通过比较两个模型，可以看出价格差x1和广告投入x2之间的交互作用对销售量有显著影响。具体来说，当价格差较小（如x1=0.1）时，增加广告投入可能会带来更大的销售量增长；而当价格差较大（如x1=0.3）时，即使增加广告投入，销售量的提升也相对有限。这种现象说明在不同的市场环境下，价格策略和营销策略的效果会有所不同，需要根据实际情况灵活调整。
总结来说，统计回归模型是研究变量间关系的重要工具，在实际问题中，我们需要通过收集数据，选择合适的模型结构，估计参数，并进行模型验证和改进，以实现对未知情况的预测和决策支持。在数学建模过程中，不仅要知道如何建立模型，还要理解模型背后的意义，以及如何利用模型对现实世界的现象进行有效的解释和预测。
