高等数学考研知识点
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2007-07-13
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考研数学知识点-高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月
1
一. 函数的概念
1．用变上、下限积分表示的函数
（1）
()
dttfy
x
∫
=
0
，其中
()
tf 连续，则
()
xf
dx
dy
=
（2）
()
()
()
dttfy
x
x
∫
=
2
1
ϕ
ϕ
，其中
(
)
x
1
ϕ
，
()
x
2
ϕ
可导，
(
)
tf
连续，
则
()
[]
() ()
[]
()
xxfxxf
dx
dy
1122
ϕϕϕϕ
′
−
′
=
2．两个无穷小的比较
设
()
0lim =xf ，
()
0lim
=
xg ，且
()
()
l
xg
xf
=lim
（1）
0=l ，称
()
xf 是比
(
)
xg 高阶的无穷小，记以
() ()
[]
xgxf 0= ，称
()
xg 是比
()
xf 低阶的无穷
小。
（2）
0≠l ，称
()
xf 与
()
xg 是同阶无穷小。
（3）
1=l ，称
()
xf 与
()
xg 是等价无穷小，记以
() ()
xgxf ~
3．常见的等价无穷小
当 0→x 时
xx ~sin ，
x
x
~
tan ， xx ~arcsin ，
x
x
~
arctan
2
2
1
~cos1 xx− ， xe
x
~1− ，
()
xx ~1ln + ，
()
xx
α
α
~11
−+
二．求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则 1．单调有界数列极限一定存在
（1）若
nn
xx ≤
+1
（ n 为正整数）又 mx
n
≥ （ n 为正
整数），则
Ax
n
n
=
∞→
lim 存在，且 mA ≥
（2）若
nn
xx ≥
+1
（ n 为正整数）又 Mx
n
≤ （ n 为正
整数），则
Ax
n
n
=
∞→
lim 存在，且
M
A
≤
准则 2．（夹逼定理）设
() () ()
xhxfxg ≤
≤
若
()
Axg =lim ，
()
Axh =lim ，则
()
Axf
=
lim
3．两个重要公式
公式 1．
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
公式 2 ．
e
n
n
n
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
1
1lim
； e
u
u
u
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
1
1lim
；
()
ev
v
v
=+
→
1
0
1lim
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
数学二）
当
0→x 时，
()
n
n
x
x
n
xx
xe 0
!!2
1
2
+++++=Λ
()
()
()
12
1253
0
!12
1
!5!3
sin
+
+
+
+
−+++−=
n
n
n
x
n
xxx
xx Λ
()
()
()
n
n
n
x
n
xxx
x
2
242
0
!2
1
!4!2
1cos +−+−+−=Λ
() ()
()
n
n
n
x
n
xxx
xx 01
32
1ln
1
32
+−+−+−=+
+
Λ
()
()
12
12
1
53
0
12
1
53
arctan
+
+
+
+
+
−+−+−=
n
n
n
x
n
xxx
xx Λ
()
(
) ()
(
)
[
]
(
)
nn
xx
n
n
xxx 0
!
11
!2
1
11
2
+
−
−
−
++
−
++=+
α
α
α
α
α
α
α
Λ
Λ
6．洛必达法则
法则 1．（
0
0
型）设（1）
()
0lim =xf ，
(
)
0lim
=
xg
（2）
x
变化过程中，
()
xf
′
，
()
xg
′
皆存在
（3）
(
)
()
A
xg
xf
=
′
′
lim （或 ∞ ）
则
(
)
()
A
xg
xf
=lim （或 ∞ ）
（注：如果
(
)
()
xg
xf
′
′
lim 不存在且不是无穷大量情形，则
不能得出
(
)
()
xg
xf
lim 不存在且不是无穷大量情形）
法则 2．（
∞
∞
型 ）设（ 1）
()
∞=xflim ，
(
)
∞
=
xglim
（2）
x
变化过程中，
()
xf
′
，
()
xg
′
皆存在
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