调性与最大值最小值.ppt

【函数单调性的理解与应用】 在数学中，函数的单调性是描述函数值随自变量变化趋势的一个重要性质。这通常涉及到函数图像的上升和下降，即函数值随自变量的增加是增大还是减小。在第一课时的“调性与最大值最小值”教学内容中，主要探讨了增函数和减函数的概念，并通过实例和图形帮助学生理解和掌握判断函数单调性的方法。 1. **增函数与减函数的概念** - 增函数：对于定义域内的任意一个区间D，如果对于任意两个自变量值x1和x2，当x1小于x2时，对应的函数值f(x1)也小于f(x2)，即f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)在区间D上是增函数。 - 减函数：相反，如果对于任意两个自变量值x1和x2，x1小于x2时，函数值f(x1)大于f(x2)，即f(x1)＞f(x2)，则函数f(x)在区间D上是减函数。 2. **单调区间的判定** - 判定函数单调性的关键在于比较同一区间内不同x值对应的函数值。例如，通过绘制函数图象，观察函数从左到右的上升或下降趋势，或者通过列表比较函数值，如二次函数f(x)=x^2的例子，可以看出函数在y轴左侧随x增大而减小，在右侧随x增大而增大。 3. **函数单调性的数学表述** - 数学语言的严谨性体现在描述函数单调性的形式化表达上。如果对于定义域I内的某个区间D，对于所有x1, x2 ∈ D (x1 < x2)，都有f(x1) < f(x2)，则f(x)在D上单调递增；如果f(x1) > f(x2)，则f(x)在D上单调递减。 4. **注意事项** - 函数的单调区间必须是定义域的子集，不能超过函数的定义域范围。 - 图像上看，增函数的图像自左向右是上升的，减函数的图像自左向右是下降的。 - 示例和反例有助于澄清概念，比如，函数f(x)=1/x在单个区间(-∞,0)和(0, +∞)上分别是减函数，但在整个定义域(-∞, +∞)上不能简单地说是减函数，因为单调性只针对单个区间。 5. **单调性的应用** - 波意耳定律中的单调性证明：根据该定律，当气体体积V减小时，压强p会增大。可以通过设定p关于V的函数，然后按照单调性证明的四个步骤（设、比、判、结）进行证明，表明在给定条件下，p随着V的减小而增大，即函数单调递增。 6. **证明函数单调性的步骤** - 一般步骤包括：选取定义域内的任意两个自变量值x1和x2（x1 < x2），计算它们对应的函数值差f(x1) - f(x2)，判断这个差的符号，最后根据差的符号得出函数在给定区间上的单调性结论。 通过以上内容，学生应该能够理解和应用函数单调性的概念，识别和证明函数的单调区间，从而为后续的数学学习打下坚实的基础。此外，这一主题还强调了数形结合的重要性，通过图形直观地理解抽象的数学概念。