概率统计简明教程习题答案

### 概率统计简明教程习题答案解析 #### 习题一解答解析 **1. 样本空间与随机事件** 题目要求我们通过集合的形式来表示以下随机试验中的样本空间与随机事件。 **(1) 抛一枚硬币两次** - **样本空间**：\[S = \{HH, HT, TH, TT\}\] - **事件A**：\[A = \{HT, TH\}\] **(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数** - **样本空间**：假设最大可能的呼叫次数为n，则\[S = \{0, 1, 2, ..., n\}\] - **事件B**：\[B = \{0, 1, 2, ..., k\}\] **(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命** - **样本空间**：假设灯泡寿命范围为\[a, b\]小时，则\[S = [a, b]\] - **事件C**：\[C = [x, y]\] **2. 袋中有10个球，编号1至10** - **事件A**：{取得球的号码是偶数}，即\[A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\] - **事件B**：{取得球的号码是奇数}，即\[B = \{1, 3, 5, 7, 9\}\] - **事件C**：{取得球的号码小于5}，即\[C = \{1, 2, 3, 4\}\] 要求对以下事件进行运算： **(1) A∪B**：必然事件，即所有球的集合\[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\] **(2) A∩B**：不可能事件，没有共同元素 **(3) A∩C**：{取得球的号码是2, 4} **(4) (A∪B) - C**：{取得球的号码是1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} **(5) B - C**：{取得球的号码为5, 7, 9} **(6) A - C**：{取得球的号码为6, 8, 10} **(7) A - B**：同上 **3. 在区间[0, 1]上任取一数** - **事件D**：\[D = [0, 0.5)\] - **事件E**：\[E = [0.5, 1]\] 要求对以下事件进行运算： **(1) D∪E**：\[D∪E = [0, 1]\] **(2) E - D**：\[E - D = [0.5, 1]\] **(3) D - E**：空集，因为没有交集 **(4) D∩E**：空集，因为没有交集 **4. 事件运算** - **事件A**：出现，**事件B和C都不出现**\[A \cap (\overline{B} \cap \overline{C})\] - **事件B和C都出现，事件A不出现**\[ (\overline{A} \cap B \cap C)\] - **所有三个事件都出现**\[A \cap B \cap C\] - **三个事件中至少有一个出现**\[(A \cup B \cup C)\] - **三个事件都不出现**\[\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\] - **不多于一个事件出现**\[(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)\] - **不多于两个事件出现**\[(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \cup (\overline{A} \cap B \cap C)\] - **三个事件中至少有两个出现**\[(A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C)\] **5. 一批产品中有合格品和废品** - **事件A_i**：第i次抽到废品 要求用事件A_i表示以下事件： **(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品**\[A_1 \cup A_2\] **(2) 只有第一次抽到废品**\[A_1 \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}\] **(3) 三次都抽到废品**\[A_1 \cap A_2 \cap A_3\] **(4) 至少有一次抽到合格品**\[\overline{A_1} \cup \overline{A_2} \cup \overline{A_3}\] **(5) 只有两次抽到废品**\[(A_1 \cap A_2 \cap \overline{A_3}) \cup (A_1 \cap \overline{A_2} \cap A_3) \cup (\overline{A_1} \cap A_2 \cap A_3)\] **6. 接连进行三次射击** - **事件B_i**：{第i次射击命中} 要求用事件B_i表示以下事件： - **事件C**：{三次射击恰好命中二次}\[(B_1 \cap B_2 \cap \overline{B_3}) \cup (B_1 \cap \overline{B_2} \cap B_3) \cup (\overline{B_1} \cap B_2 \cap B_3)\] - **事件D**：{三次射击至少命中二次}\[(B_1 \cap B_2 \cap B_3) \cup (B_1 \cap B_2 \cap \overline{B_3}) \cup (B_1 \cap \overline{B_2} \cap B_3) \cup (\overline{B_1} \cap B_2 \cap B_3)\] #### 习题二解答解析 **1. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。** 这是一个典型的组合问题，利用组合公式\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]。 - **样本点总数**\[N = C(50, 3)\] - **事件F**：恰有1件次品\[F = C(5, 1) \times C(45, 2)\] 因此，所求概率为\[P(F) = \frac{C(5, 1) \times C(45, 2)}{C(50, 3)}\] **2. 从袋中有放回地取球** - **样本点总数**\[N = 7^2\] 求以下事件的概率： - **第一次、第二次都取到红球**\[P(G_1) = \frac{5^2}{7^2}\] - **第一次取到红球，第二次取到白球**\[P(G_2) = \frac{5 \times 2}{7^2}\] - **二次取得的球为红、白各一**\[P(G_3) = \frac{2 \times 5 + 5 \times 2}{7^2}\] - **第二次取到红球**\[P(G_4) = \frac{5 \times 7}{7^2}\] **3. 从口袋中取2只球** - **样本点总数**\[N = C(6, 2)\] 求以下事件的概率： - **最小号码是3**\[P(H_1) = \frac{C(4, 2)}{C(6, 2)}\] - **最大号码是3**\[P(H_2) = \frac{C(3, 1)}{C(6, 2)}\] 以上解析涵盖了所有给出的习题，并给出了详细的解答过程。