分享基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟（教学版）.doc
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2022-11-29
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基于 MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟
―――《混沌实验教学平台的设计与实现》初期报告
物电 05 级 1A 班 张丹伟 20050003101
摘要：本文利用数学软件 MATLAB 对 Lorenz 系统等六个重要的混沌模型进行数值计算，同
时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子，倍周期，初值敏感性，相图，分岔图等。
通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。
关键词：混沌； 微分方程； MATLAB；
引言． 混沌探秘
混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学
和社会科学的几乎每一个分支。1972 年 12 月 29 日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创
人之一 E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第 139 次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，
提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，
并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！
“混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌
则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。
混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的
海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的
烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就
是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬，一
片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为
伴。
一． 混沌的基本概念
1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由
确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。
2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向
量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个状态用相空间的一个点表示, 通过该点
有唯一的一条积分曲线。
3. 混沌运动: 是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度
不稳定, 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。由于这种不稳定性, 系统的长时间行
为会显示出某种混乱性。
4. 分形和分维: 分形是 n 维空间一个点集的一种几何性质, 该点集具有无限精细的结
构, 在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质, 具有小于所在空间维数 n 的非整数维数。
分维就是用非整数维——分数维来定量地描述分形的基本性质。
5. 不动点: 又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值, 对于这些值系
统不随时间变化。在连续动力学系统中, 相空间中有一个点
0
x
, 若满足当
t ® ¥
时, 轨迹
0
( )x t x®
, 则称
0
x
为不动点。
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