九章算术开方算法系统和与现代计算机程序的比较.doc

"九章算术开方算法系统和与现代计算机程序的比较" 《九章算术》开方算法系统是古代中国数学家傅海伦创造的一种开方算法系统，该系统包括开平方和开立方两种算法。开平方算法相当于求 x2 = N 的根，而开立方算法相当于求 x3 = N 的根。《九章算术》开方算法系统的特点是使用位置值制，通过机械重复实施「超」、「议」、「除」和「折」的四大步骤，直至适尽，结束。 开平方算法的步骤是：首先作四行的筹式布算，即从上到下的四行依次布以方根、「议所得」、「法」和「借算」，然后机械反复实施「超」、「议」、「除」和「折」的四大步骤，直至「适尽」、结束。「超」是将置于个位上的借算自右向左隔一位移一步，移到与实的最高位（N 为奇数位）或次高位（N 为偶数位时）对齐为止。「议」是议得根的第一位得数为 a1。「除」是以 a1 乘借算 102n 得 102na1 作为法，并将定法向右退一位为 2‧102n－1a1。「折」是撤去借算，将法 102na1 加倍为定法，并将定法向右退一位为 2‧102n－1a1。 开立方算法的步骤是：开立方术曰：「置积为实。借一算，步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数，置中行。复借一算，置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定除。除已，倍下，并中从定法。复除，折下如前。」 通过对《九章算术》开方算法系统的分析，可以发现它是根据以下公式来逐步推求的，与现代的迭代法完全一致，可以通过计算机来实现： (a + b)2 = a2 + (2a + b)b (a + b + c)2 = (a + b)2 + [2(a + b) + c]c (a + b + c + d)2 = (a + b + c)2 + 2[(a + b + c) + d]d …… 《九章算术》开方算法系统还提供了对几种特殊情况的处理方法：一是被开方数为分数的情形，要「通分子」，若分母是平方数，则分子、分母分别开方，然后相除，即 A = b/a，；若分母不可开，则以分母乘分子，开分子后再以分母除，即 A = b/a，A = ab/a2。二是开方不尽的情形，这相当于求无理根，称为不可开，求出整数部分后，「以面命之」。 《九章算术》开方算法系统是中国古代数学的一大成果，它不仅具有重要的历史意义，也为现代计算机程序的发展奠定了基础。