算法设计技巧与分析课件(英文版)：ch7 Dynamic Programming.ppt

动态规划是一种强大的算法设计技术，尤其适用于解决组合问题。它与分治法类似，但通过避免在处理子问题时重复工作来优化效率。本课件将深入探讨动态规划的基本概念、示例、范式以及一些典型问题的解决方案。 在之前的学习中，我们已经了解了分治法，并学习了一些使用该方法设计的算法，例如二分查找、归并排序和快速排序等。这些算法都是通过将大问题分解为小问题，然后逐个解决，最后将结果合并，达到求解目的。 现在我们将转向动态规划。动态规划的核心在于，当子问题有重叠并且相同的情况下，不再重复计算，而是保存子问题的解，以备后续使用。这在优化问题中特别有用，比如旅行推销员问题，其中的目标是最小化访问一系列城市的总距离。 让我们用一个例子来说明动态规划：斐波那契序列。斐波那契序列的定义是递归的，即每个数字是前两个数字的和。传统的递归算法会引发大量重复的计算，时间复杂度是指数级别的，随着n的增长，性能急剧下降。 为了解决这个问题，动态规划采用自底向上的方式来计算斐波那契序列。首先计算基础情况（通常是序列的前两个元素），然后逐步计算更大的值，利用已知的子问题解来构建当前问题的解。这样可以显著减少重复计算，提高效率。时间复杂度降为线性，即O(n)。 接下来，课件可能会介绍动态规划的一些经典问题： 1. 最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）：寻找两个序列的最长子序列，不考虑子序列的顺序。动态规划在这里可以构建一个二维数组，记录每个位置的最大子序列长度。 2. 矩阵链乘法（Matrix Chain Multiplication）：计算最少的乘法操作次数，当矩阵需要按特定顺序相乘时。动态规划可以构造一个表来存储最优解。 3. 所有对最短路径问题（All-Pairs Shortest Path）：在一个加权图中找到任意两个顶点之间的最短路径。Floyd-Warshall算法是动态规划的一个应用，通过迭代更新所有顶点对的最短路径。 4. 背包问题（Knapsack Problem）：在给定容量的背包中选择物品以最大化价值，同时不超过背包的重量限制。动态规划可以通过构建一个表格来决定是否应该包含某个物品。 动态规划是一种高效解决问题的方法，尤其在处理具有重叠子问题的优化问题时。通过理解和掌握动态规划，我们可以解决许多实际问题，如优化路线、设计高效的数据结构和算法，甚至在生物信息学等领域中找到应用。在实际编程中，动态规划常常是实现高效算法的关键。