MATLAB课件：ch8_linear_and_nonlinear_equations.pdf

MATLAB 是一种强大的数学软件，尤其在解决线性与非线性方程方面提供了多种工具。本课件主要探讨了MATLAB中用于求解方程的几个关键函数，包括符号求解、线性方程组的直接解法以及非线性方程的数值解。 1. 线性方程组的求解： MATLAB 中，求解线性方程组最常用的方法是使用运算符 `/` 和 `\`。`A \ B` 表示求解线性方程组 `A*x = B` 的解，其中 `A` 是系数矩阵，`B` 是常数向量。例如，给定一个4x4的系数矩阵 `A` 和一个4维列向量 `b`，可以使用 `x = A \ b` 来找到解。MATLAB 的这个操作符内部实现了多种算法，如高斯消元法、最小二乘法等，能自动适应不同的线性方程组类型，如超定或欠定问题。 2. 非线性方程的数值解： 对于非线性方程，MATLAB 提供了 `fsolve` 函数。其基本语法为 `x = fsolve(fun, x0)`，其中 `fun` 是定义非线性方程的函数，`x0` 是初始猜测值。`fsolve` 使用牛顿迭代法或其他优化算法来寻找解。返回值 `x` 是解，如果 `flag` 大于0，表示求解成功。`fsolve` 还支持通过 `optimset` 设置各种选项来控制求解过程，例如大型问题处理、迭代显示等。 3. 初始值的影响： 非线性方程可能有多个解，因此初始值的选择对结果至关重要。不同的初始值可能导致找到不同的解，甚至可能找不到解。例如，当尝试解决自编函数 `my2deq` 时，通过改变初始值，`fsolve` 可能会找到不同解。 4. 符号求解： MATLAB 的 `solve` 函数用于符号计算，它可以解出方程的精确解析解，但不适用于数值计算。在示例中，使用 `syms` 定义符号变量，然后用 `solve` 求解表达式。然而，对于某些复杂方程，可能无法得到闭合形式的解，此时可以先通过图解法估计初始值，然后利用 `fsolve` 进行数值求解。 5. 调试与显示： 在求解过程中，可以通过设置 `optimset` 的 `Display` 属性来控制输出信息，例如 `'iter'` 可以显示每一步的迭代信息。 总结起来，MATLAB 提供了丰富的工具来处理线性与非线性方程。对于线性问题，使用 `\` 运算符即可；对于非线性问题，可以借助 `fsolve` 函数，但需谨慎选择初始值。在符号计算和数值计算之间，用户可以根据问题的特性灵活选择合适的求解方法。