离散余弦变换（DCT，Discrete Cosine Transform）是一种在数字图像处理领域广泛应用的正交变换技术，尤其在图像压缩中占有重要地位。它将图像数据从空间域转换到频域，使得图像的能量主要集中在低频部分，从而便于进行有损压缩。
一维离散余弦变换（1D-DCT）的定义公式为：
\[ F(u) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{x=0}^{N-1} f(x) \cos\left(\frac{\pi (u+1/2)x}{N}\right), \quad u = 0, 1, ..., N-1 \]
其中，\( f(x) \) 是输入的一维序列，\( F(u) \) 是对应的离散余弦变换系数，\( u \) 是频率变量，\( N \) 是序列长度。反变换公式如下：
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{u=0}^{N-1} F(u) \cos\left(\frac{\pi (x+1/2)u}{N}\right), \quad x = 0, 1, ..., N-1 \]
二维离散余弦变换（2D-DCT）扩展了这个概念到图像的二维矩阵，其定义为：
\[ F(u, v) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) \cos\left(\frac{\pi (u+1/2)x}{N}\right) \cos\left(\frac{\pi (v+1/2)y}{N}\right), \]
\[ u, v = 0, 1, ..., N-1 \]
这里的 \( f(x, y) \) 表示图像矩阵的像素值，\( F(u, v) \) 是对应的二维离散余弦变换系数。
DCT 的一个重要特性是它的系数矩阵通常具有稀疏性，即大部分系数接近于零，只有少数几个系数具有较大的值。这种特性使得DCT在图像压缩标准如JPEG中得以应用，通过忽略或降低小幅度的高频系数来实现无损或有损的图像压缩。
矩阵表示法简化了离散余弦变换的计算。例如，当 \( N = 4 \) 时，可以将变换表示为矩阵乘法的形式。通过构建特定的变换矩阵 \( A \) 和系数矩阵 \( F \)，1D-DCT 可以表示为：
\[ F = Af \]
而反变换则为：
\[ f = A^T F \]
二维离散余弦变换的矩阵表示类似，通过构建适当的矩阵并进行矩阵运算完成变换。
离散余弦变换是一种强大的工具，它能够将图像数据的结构转换成更适合压缩的形式，同时保持图像的主要视觉质量。在图像处理和计算机视觉领域，DCT 的理解和应用是至关重要的。
