算法与数据结构：19-图5.pdf

《算法与数据结构：19-图5.pdf》主要探讨了图的逻辑结构及物理结构，特别是图的遍历、有环图的应用以及有向无环图（DAG）的应用，包括最小生成树、最短路径、拓扑排序和关键路径等概念。以下是这些知识点的详细说明： 1. **图的遍历**： - 图的遍历是访问图中所有顶点的过程，常见的方法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。这两种方法在解决图的问题中起到基础性的作用，例如寻找路径、判断连通性等。 2. **有环图的应用**： - 有环图中，边的存在可能导致循环路径。在实际问题中，例如项目依赖分析，环可能表示循环依赖，这是不希望的。在这种情况下，可以利用最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）算法来寻找无环的连接所有顶点的边集合，如Prim算法或Kruskal算法。 3. **最小生成树**： - 最小生成树是图中所有顶点的集合，包含的边尽可能少，且连接所有顶点，而总权重最小。它在资源分配、网络设计等领域有广泛应用。 4. **最短路径**： - 在图中寻找两个顶点之间的最短路径是另一个经典问题，Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法是常用的解决方案。这些算法可以用于优化路由选择、交通网络规划等。 5. **有向无环图（DAG）的应用**： - DAG在很多场景下代表了有序或依赖关系，如任务调度、项目管理。DAG的一个重要应用是拓扑排序。 6. **拓扑排序**： - 拓扑排序是针对DAG的一种排序方法，将所有顶点排成一个序列，使得对于每条有向边 (u, v)，顶点u都在顶点v之前。在课程安排中，拓扑排序可以确保先修课程在后修课程之前。拓扑排序的结果不唯一，但如果有环，则无法进行拓扑排序，因为环意味着有依赖顺序的矛盾。 7. **AOV网（顶点活动网络）**： - AOV网是用顶点表示活动、有向边表示活动间顺序的图。例如，在课程安排中，顶点表示课程，边表示先修课程与后续课程的关系。 8. **拓扑排序算法**： - 拓扑排序通常通过栈或队列实现。栈方式中，首先将所有入度为0的顶点入栈，然后每次弹出栈顶元素并输出，更新其后继顶点的入度，若某个顶点入度变为0则入栈。队列方式类似，但使用先进先出（FIFO）的队列代替栈。 9. **拓扑排序算法的存储结构**： - 为了实现拓扑排序，通常采用邻接表存储图，同时增加入度域记录每个顶点的入边数量。 10. **拓扑排序算法的实现**： - 邻接表结合栈的实现方式：初始化时将所有入度为0的顶点入栈，然后在栈非空时，不断弹出顶点并输出，更新其后继顶点的入度，直至栈空。如果所有顶点都已输出，则无环；反之，有环。 以上就是《算法与数据结构：19-图5.pdf》中关于图的逻辑结构、遍历、有环图应用以及有向无环图应用的重点内容。这些知识是理解图论和解决实际问题的关键。