2017_2018学年高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.3三次函数的性质：单调区间和极值分层训练湘教

在高中数学教学中，导数不仅是研究函数性质的重要工具，而且在解决实际问题时也有着广泛的应用。特别是在分析三次函数的单调区间和极值时，导数的应用尤为重要。本文将结合2017-2018学年高中数学课程标准，对湘教版选修2-2中的相关知识进行深入分析。 我们需要明确什么是三次函数。三次函数是一类特殊的多项式函数，其最高项的次数为3，一般形式可以表示为 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。其中 $a \neq 0$，若 $a > 0$，函数图像是一个先向下后向上的“S”形曲线；若 $a < 0$，则是一个先向上后向下的“S”形曲线。三次函数的特点是具有两个拐点，且至少有一个实数零点。 在探讨三次函数的性质时，我们通常关注其单调区间和极值点。单调区间是指函数在某个区间内保持单调递增或单调递减的特性，而极值点则是函数取得局部最大值或最小值的点。对于三次函数而言，由于其图像在拐点附近会发生凹凸性的转变，因此确定单调区间和极值点是理解函数性质的关键。 在具体分析三次函数的单调区间和极值点时，我们首先要计算函数的导数。导数描述的是函数在某一点处的变化率，导数为零的点是函数可能的极值点。对于三次函数 $f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + a$，其导数 $f'(x) = 3x^2 - 3x$ 可以帮助我们找到函数的极值点。导数为零的点 $x = 0$ 和 $x = 1$，这两个点是函数可能的极值点。 然而，要确定这些点确实是极大值点还是极小值点，我们需要进一步计算函数在这些点的函数值。通过比较函数值的大小，我们可以判断出极大值点和极小值点。在分析题目的过程中，我们得知在区间 [-1, 1] 上函数的最大值是2，最小值是 -4。根据这一信息，我们可以确定 $a = \frac{3}{2}$，进而得到函数的确切表达式。 分析三次函数的单调性和极值问题，是高中数学中函数与导数教学的重要组成部分。通过这类问题的分析，学生可以更加深入地理解函数性质，以及导数在分析函数时所扮演的关键角色。这一过程不仅锻炼了学生运用数学知识解决实际问题的能力，而且也有助于培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。 在教学过程中，教师应注重引导学生理解导数的概念及其几何意义，帮助学生掌握求导技巧，并通过实际例题来巩固学生对函数极值和单调性分析的理解。通过分层训练，学生可以逐步掌握解决复杂问题的方法，如在本例中，我们分析了三次函数在特定区间内的单调区间和极值点，这对于学生进一步研究更复杂函数的性质具有重要意义。 总结来说，三次函数的性质研究，特别是其单调区间和极值的探讨，是高中数学教学中不可忽视的部分。通过掌握导数这一强有力的数学工具，学生不仅能够解决实际问题，还能深化对数学理论的理解，为后续数学知识的学习打下坚实的基础。