【知识点详解】
1. 计数原理：计数原理是概率论与数理统计中的基本概念，用于处理各种组合问题。在本章中，学生需要掌握加法原理（如果一个事件可以通过两种或多种方式发生，那么所有可能方式的总数是各自独立方式数的和）和乘法原理（如果一个事件发生需要经历多个步骤，每个步骤都有若干种可能，那么总的可能性是各个步骤可能性的乘积）。
2. 随机抽样：如题中所示，问题涉及从不同数量的元素中抽取一定数量的元素，涉及到组合数学的概念。例如，从4双鞋中抽取4只，考虑顺序则为排列问题，不考虑顺序则为组合问题。
3. 二项式定理：题目中第二题涉及到二项式定理，这是代数学中的一个重要工具，它说明了(a+b)^n的展开式是关于a和b的多项式。题目要求求解展开式中x^2的系数，这需要对二项式定理的运用和系数计算有深入理解。
4. 不同映射的个数：集合间的映射问题是函数理论的基础。例如第四题，从M到N的不同映射个数计算，需要了解函数定义，即每个元素在M中的映射必须唯一确定N中的一个元素。
5. 组合计数：第六题涉及到从有限集合中选择元素的问题，但有特定条件限制（男女教师都需有）。这类问题通常需要用到组合数公式C(n,k)，即从n个不同元素中选择k个元素的方法数。
6. 排列组合：如第五题，晚上亮灯的组合数问题，因为要求任意两盏灯不相邻，所以需要使用插空法解决。第七题中，利用组合数的性质C(n+k,n)=C(n+k-1,n-1)+C(n+k-1,n)来求解n的值，并进一步应用二项式定理的性质来求解a0-a1+a2-...+(-1)^nan的值。
7. 排列与组合的应用：第九题中，从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，至少有1名女生的选法，需要采用直接法或间接法（排除法）来计算。第十题则涉及到特定条件下排列数的计算，包括相邻约束和特殊元素的限制。
8. 淘汰赛制的计数：第十一题中，世界杯的淘汰赛阶段，需要计算单循环赛和淘汰赛的总场次。单循环赛的场次可以通过组合数公式C(n,2)来计算，淘汰赛的场次则需要逐轮分析。
9. 椭圆方程与不等式：第十二题涉及椭圆的标准方程及其几何特性，要求椭圆的中心在原点，且其位于给定的矩形区域内。这需要学生理解椭圆参数m和n的意义，以及椭圆方程与不等式的联系。
以上知识点涵盖了高中数学选修2_3中的计数原理部分，包括但不限于加法原理、乘法原理、组合数、二项式定理、排列组合、不等式和方程等核心概念。在解答这些问题时，不仅需要掌握基础理论，还需要具备灵活运用这些知识解决实际问题的能力。
