二元一次方程是初中数学中的重要概念，它是指含有两个未知数，并且每个未知数的最高次数为1的方程。在这个作业设计中，主要关注的是如何理解和应用二元一次方程组。
1. 第一题涉及的是二元一次方程的形式。题目给出的方程 `x|43|-m|+y|n|^2-2009=2009` 要求是二元一次方程，因此未知数的指数必须为1。由题意可得 `|m|=1` 和 `|n|^2=1`，结合 `mn<0` 和 `0<m+n≤3`，可以解出 `m=-1` 和 `n=3`，进一步得到 `m-n=-1-3=-4`。
2. 第二题要求找出二元一次方程 `x+3y=10` 的非负整数解。通过将 `y` 表示为 `x` 的函数，即 `y=(10-x)/3`，我们可以逐个尝试 `y` 从0到无穷大的非负整数值，找出满足条件的解。解出来的非负整数解为 `(x,y)`：`(1,3)`, `(4,2)`, `(7,1)`, `(10,0)`，共计4对。
3. 至于填空题，题目考察了方程的系数必须满足的条件以保持其为二元一次方程。例如，第三题要求 `a^2 - (a^1 - 1)` 的值等于1，同时 `a^2` 不为0，解得 `a = -2`。第四题类似，需要 `a^2/9 - a^3` 为0且 `2a - 1` 不为0，解得 `a = -3`。
4. 解答题中，例如第12题要求给出方程 `5x^3 - y = 4` 的解，当 `x=y` 或 `x=-y` 时，可以分别计算出解。第13题是一个开放性问题，询问是否存在整数 `m` 使得方程 `2x+9=2-(m^2 - m)x` 在整数范围内有解。这可以通过解这个方程并寻找整数解来解决。第14题是一个实际应用问题，涉及到车辆座位安排，需要通过建立二元一次方程组来求解。
通过这些题目，学生可以学习到如何识别和操作二元一次方程，理解它们的解的概念，以及如何通过代数方法求解这些问题。此外，这些题目还强调了方程的实际应用，如在解决问题时考虑实际情境和限制条件。对于七年级的学生来说，这些都是掌握基本数学概念和技能的重要练习。
