在高中数学第二章“圆锥曲线与方程”的学习中，抛物线是一个重要的概念，它在几何、物理等多个领域有广泛的应用。本习题课主要关注抛物线的综合问题及其应用，帮助学生巩固提升相关知识。
抛物线的基本特征包括焦点、准线和方程。对于题目中的第一道题，我们知道抛物线的焦点是直线x+y-1=0与y轴的交点，这意味着焦点坐标为(0,1)。根据抛物线的标准方程y=ax^2，可以得出a的值，从而得到抛物线的准线方程。通过计算，我们得到a=1/4，抛物线的方程为x^2=4y，因此准线方程为y=-1。
第二题考察了动圆与固定圆以及直线的切点关系，动圆圆心的轨迹是抛物线。根据题目条件，动圆与圆(x-2)^2+y^2=1相外切，同时与直线x+1=0相切，我们可以利用圆心距公式和点到直线的距离公式，推导出动圆圆心的轨迹方程，最终得出y^2=8x。
第三题涉及的是直线与抛物线的交点问题，以及焦半径的性质。已知抛物线y^2=8x的焦点F(2,0)，过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点。利用焦半径公式，可以计算||FA|-|FB||的值。
第四题，直线y=kx-2与抛物线y^2=8x有两个不同的交点A、B，同时|AF|、4、|BF|成等差数列。通过联立方程，找到k的值，使得交点满足等差中项条件。
第五题，根据等边三角形的性质，我们可以确定抛物线的顶点在原点，焦点F，准线方程与过点A(3,y)的垂线构成的三角形是等边三角形。通过解方程找到p的值，得到抛物线的标准方程。
第六题，倾斜角为45°的直线过抛物线y^2=2px的焦点，与抛物线交于A、B两点。利用直线方程和抛物线方程联立，解出弦长AB，从而求出参数p。
第七题，抛物线y^2=4x上的三点A、B、C满足向量和为零，即F是重心。利用向量的性质和抛物线的定义，我们可以求出|FA|+|FB|+|FC|的和。
第八题，直线l与抛物线y^2=4x交于A、B两点，点O是原点，要求直线l恒过的定点M的坐标。通过讨论直线斜率是否存在，分别建立方程并求解，找出定点M的坐标。
这些题目覆盖了抛物线的基础知识，包括焦点、准线、方程的求解，以及与直线的交点问题，动点轨迹的确定，向量和焦半径的运用。通过这些习题，学生能够深入理解和掌握抛物线的性质，并提高解决问题的能力。
