第四章《圆与方程》中的4.1.1节主要探讨了圆的标准方程，这是高中数学必修2中的重要内容。圆的标准方程一般形式为 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中 (a, b) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
1. 圆的标准方程 (x-2)^2 + (y+3)^2 = 2 表示圆心位于点 (2, -3)，半径为 √2。因此，正确答案是 D。(2,-3),√2。
2. 圆 (x-2)^2 + (y-3)^2 = 4 的圆心是 (2, 3)，半径为 2。点 P(3,2)到圆心的距离小于半径，说明点 P 在圆内，所以答案是 C。
3. 点 A(-4,-5) 和 B(6,-1) 所决定的圆心位于中点 (1,-3)，半径 r = |AB|/2 = √29。所以圆的方程为 (x-1)^2 + (y+3)^2 = 29，选择 C。
4. 直线 y=kx 与圆 (x-2)^2 + y^2 = 1 的两个交点对称，意味着直线 y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直，k 之积为 -1，所以 k=1/2。圆心 (2,0) 应在直线 2x+y+b=0 上，代入得 b=-4，所以答案是 A。
5. 过点 A(1,-1) 和 B(-1,1) 的圆心在直线 x+y-2=0 上，排除不符合条件的选项，代入点 B 坐标验证，得出圆的标准方程是 (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4，选择 C。
6. 点 A(-2,0) 观察点 B(2,a)，视线不被圆 O:x^2+y^2=1 阻挡，可以通过建立直线方程或数形结合的方法求解，最终得出 a 的取值范围是 (-∞,-4)∪(4,+∞)，答案是 D。
7. 圆 (x+1)^2 + y^2 = 5 关于直线 y=x 对称的圆，其圆心坐标通过原圆心关于直线的对称变换求得，对称圆的标准方程为 x^2 + (y+1)^2 = 5。
8. 直线 3x-4y+12=0 与坐标轴的交点 A(0,3) 和 B(-4,0)，以 AB 为直径的圆的圆心是中点 (-2, 3/2)，半径为 AB/2 = 5/2，所以圆的方程是 (x+2)^2 + (y-3/2)^2 = 25/4。
9. 点 A(8,-6) 在圆 C:x^2 + y^2 = 25 外，|AP|的最小值是点 A 到圆心 (0,0) 距离减去半径，即 √100 - 5 = 5。
10. 直线 (a-1)x - y + a + 1 = 0 通过点 (-1,2)，不论 a 取何值，圆心 C(-1,2)，半径为 √5 的圆的方程为 (x+1)^2 + (y-2)^2 = 5。
11. 矩形 ABCD 对角线交点 M(2,1)，AB 边方程为 x-2y-4=0，AD 边与 AB 垂直，所以 AD 边的方程可以求出，矩形外接圆的圆心位于对角线交点 M，半径等于矩形对角线长度的一半。
以上是对题目中涉及的圆的方程及其应用的详细解释，涵盖了圆的标准方程、点与圆的位置关系、对称性、直线与圆的关系以及圆的几何性质等多个方面。
