在小学六年级数学的学习中，圆柱与圆锥的体积是一个重要的知识点。圆柱的体积公式是基础几何概念，对于理解和解决实际问题至关重要。这里我们将深入探讨这些概念，并通过具体的题目解析来帮助理解。
圆柱的体积可以通过底面积乘以高来计算。用字母表示，如果圆柱的体积是 V，底面积是 S，高是 h，那么圆柱的体积公式为 V=Sh。例如，在题目中提到的第(1)和(2)个小问题，当底面半径是 r，高是 h 时，体积公式变为 V=πr²h。这是基于圆的面积公式 A=πr² 和矩形面积公式 A=lw 的结合，因为圆柱的侧面可以展开成一个长方形，长是圆周长，宽是高。
第(3)题中，一个高为 5cm 的圆柱被横切为两部分，表面积增加的部分是两个新增加的圆形底面，总面积为 20cm²。因此，一个底面面积是 10cm²，所以圆柱的体积 V=Sh=10cm² × 5cm = 50cm³。
第(4)题中，圆柱的底面直径是 4 分米，侧面展开后是一个正方形，意味着圆柱的底面周长等于高，即 2πr=h，由于直径是4分米，半径r=2分米，所以 h=2π × 2=4π 分米。而侧面展开是正方形，所以高也是4π 分米。圆柱的体积 V=Sh=πr²h=π × (2分米)² × (4π分米)=157.7536立方分米。
第(5)题涉及圆柱体尺寸变化对体积的影响。如果高缩小为原来的1/2，体积也会缩小为原来的1/2；底面积不变，体积保持不变；如果底面积扩大到原来的2倍或3倍，体积也会相应地扩大2倍或3倍；而半径扩大到原来的2倍或3倍，底面积会变成原来的4倍或9倍，相应的体积也会增加4倍或9倍。若高扩大到原来的1/5，体积则会缩小为原来的1/5。
第(2)题的判断部分：
(1)错误，侧面积相等的两个圆柱，体积可能不同，因为底面积可能不同。
(2)正确，长方体、正方体和圆柱体的体积确实可以用底面积乘以高来计算，这是基本的体积计算方法。
(3)正确，圆柱形容器的容积就是它所能容纳的物体的体积。
(4)正确，如果圆柱底面积不变，高扩大3倍，体积确实会扩大3倍。
第(3)题中，正方体木料加工成最大圆柱的问题，圆柱的直径等于正方体的边长，高也等于边长，所以圆柱体积是 50.24 立方分米。
第(4)题是一根钢管的体积计算，需要减去两个圆柱体（管壁）的体积，得到钢管内部的空间体积，解出为9.0432立方分米。
第(5)题中，已知水桶的容积和内底面积，可以求出原有水的高度，然后根据新的比例关系，计算出新桶装满水的质量，最后得出原来的桶装水的质量为32463/4=8115.75千克。
第(6)题是关于圆柱形状改变后体积不变的问题。设原水桶的高为 h，半径为 r，现在高变为 12h，半径变为 2r，根据体积不变的原理，可以解出原水桶装水的质量为40千克的两倍，即原来的水桶可以装水 20千克。
通过以上分析，我们可以看到，掌握圆柱体的体积公式及其应用是解决问题的关键，同时要理解几何体的尺寸变化如何影响体积，以及如何利用这些知识解决实际问题。这些基础概念不仅在小学数学中很重要，也是未来学习更多几何和代数知识的基础。
