2021版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数Ⅰ第4节二次函数与幂函数课时跟踪检测理新人教A版202005110221

在高中数学复习中，二次函数和幂函数是重要的基础概念，尤其在高考备考阶段，对这些知识点的掌握至关重要。二次函数通常表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于零。它们的图形是抛物线，对称轴为 x = -b/(2a)，而顶点坐标可通过公式 (-b/(2a), c - b^2/(4a)) 计算得出。函数的单调性、最大值或最小值都与 a 的符号有关。 幂函数 y = x^α 的性质主要取决于指数 α 的值。若 α 为正整数，函数图像通过原点，且在第一象限内随着 x 增大而增大；当 α 为负数时，图像会在第四象限内穿过 x 轴，随着 x 增大而减小。若 α 为分数，函数可能为奇函数、偶函数或者非奇非偶函数，具体取决于 α 的奇偶性和绝对值。 在题目中，通过分析幂函数经过的点可以确定函数的性质，例如问题1中的解析过程展示了如何利用幂函数的定义来解决问题。而在问题2中，比较幂函数与直线 y = x 的位置关系，可以判断 α 的取值范围。 对于二次函数，如问题3所示，值域的计算需要考虑二次函数的开口方向和对称轴。题目要求函数在特定区间 [m, 5] 上的值域是 [－5, 4]，通过解方程求得关键点，可以确定 m 的取值范围。 问题4中，由于函数为偶函数，我们可以利用偶函数的性质简化问题，并结合函数的单调性来解不等式。问题5则涉及到了不等式恒成立的问题，通过对 x 的范围进行分析，可以找到 m 的限制条件。 在问题6中，函数的单调性变化决定了对称轴的位置，从而推导出 m 的值，进而计算 f(1)。问题7和8则涉及到幂函数在不同 x 值处的比较，以及奇函数的定义域和性质。 问题9探讨了二次函数顶点位置与解析式之间的关系，顶点位置最高意味着二次项系数 a 应该是最小的正数，这样抛物线开口向上且顶点在最低点。问题10同样考察了函数性质与参数的关系。 通过这些题目，学生应深入理解二次函数和幂函数的基本性质、图象特征、单调性、值域以及它们与参数的关系，这些都是高考数学中的核心考点。在复习过程中，除了掌握理论知识，还需要通过大量练习来提升解题能力，确保在实际考试中能灵活应用。