等腰三角形是初中数学中的一个核心概念，它在几何证明和问题解决中扮演着重要角色。本节我们将深入探讨等腰三角形的性质、判定方法以及与等边三角形的关系。
1. 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简单叙述为：“等角对等边”。这意味着如果在三角形中有两个角相等，那么对应两边也必然相等。
2. 等腰三角形具有以下特性：
- 两个底角的平分线相互重合，即它们都垂直平分对边，形成两个全等的小三角形。
- 两腰上的中线互相重合，也就是说，等腰三角形的顶点到底边中点的线段既是中线也是高线。
- 两腰上的高也互相重合，高线同时也是中线，这进一步表明等腰三角形的对称性。
3. 等边三角形是等腰三角形的特殊形式，它的三个角都相等，每个角都是60度。等边三角形具有完全的对称性，所有边和角都完全相同。
4. 在证明一个三角形是等边三角形时，通常会利用等腰三角形的性质。在已知∠A=∠B=∠C的情况下，可以推导出AB=AC（等角对等边），再根据AB=AC，我们可以应用等式性质得出结论，即AB=BC，因此，所有边都相等，证明了△ABC是等边三角形。
5. 对于命题的判断：
- ①正确，因为两个角相等意味着对应边也相等，从而形成等腰三角形。
- ②正确，一个外角等于120度意味着该角的两边的内角各为60度，因此是等边三角形。
- ③正确，若每个外角都相等，则内角也相等，三角形是等边三角形。
- ④正确，高和中线的重合意味着两边相等，因此三角形是等腰三角形，如果腰和底边也相等，则是等边三角形。
所以，所有命题都正确。
6. 在直角三角形△ABC中，已知∠C=90°，∠B=30°，AC=1。可以应用30°-60°-90°直角三角形的性质，其中AC是30°角所对的直角边，所以BC=AC/2=1/2，AB是斜边，AB=2AC=2。
7. 对于等边三角形△ABC，DE平行于BC并分别交AB、AC于D、E。由于DE平行于BC，根据内错角相等，我们可以得到∠ADE=∠ACB，又因为∠BAC=∠BAC，所以∠AED=∠ABC。由等边三角形的性质，∠BAC=60°，因此∠ADE=∠AED=60°，证明了△ADE是等边三角形。
8. 在房梁示意图中，BC垂直于AC，∠A=30°，AB=7.4m，D是AB的中点，DE垂直于AC。利用30°-60°-90°直角三角形的性质，我们可以计算出BC的长度，BC=AB*sin(30°)=7.4m*sin(30°)。对于DE的长度，因为D是AB的中点，DE是AB的中垂线，所以DE=BD，BD=AB*cos(30°)=7.4m*cos(30°)。
9. 在△ABC中，AB=AC=6，∠B=15°，CD是腰AB上的高。我们知道∠C=180°-∠B-∠A=180°-15°-15°=150°，由于AB=AC，所以∠BAC=∠ABC=75°。CD是高，所以∠CDB=90°-∠B=90°-15°=75°。利用正弦定律或三角函数，我们可以求出CD的长度。
以上内容详细介绍了等腰三角形和等边三角形的相关性质和证明方法，包括角的性质、边的关系、以及等腰三角形与等边三角形之间的转换。同时，我们通过具体的题目解析展示了如何运用这些知识来解决问题。
