复数是数学中的一个重要概念，尤其在高中数学的复习阶段，它是高考数学的重要知识点之一。复数是由实部和虚部组成的，形如 a+bi 的数，其中 a 是实部，b 是虚部，两者都属于实数集 R。如果虚部 b 等于 0，则复数为实数；如果 a 等于 0 但 b 不等于 0，则复数为纯虚数。复数相等的条件是实部和虚部分别相等，即 a = c 且 b = d。
共轭复数是复数的一个重要特性，两个复数 a+bi 和 a-bi 被认为是共轭的，它们的实部相同而虚部互为相反数。复数的模，也称为复数的长度或大小，用 |z| 表示，它等于复数 a+bi 的平方和的平方根，即 |z| = √(a² + b²)。
在几何意义上，复数可以被看作是平面直角坐标系中的点，其中实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。因此，复数的加法和减法对应于平面中向量的加法和减法，而复数的乘法和除法则有更复杂的几何解释，例如，复数乘法可以形成一个新的向量，其长度和方向取决于原始向量的角度和长度。
复数的运算规则如下：
1. 加法：z1+z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2. 减法：z1-z2 = (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3. 乘法：z1*z2 = (a+bi) * (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法：z1/z2 = (a+bi)/(c+di) = [(ac + bdc² + d²) + (bc - ad)(c² + d²)] / (c² + d²)，当 c+di ≠ 0 时。
此外，复数还有一些特定的性质和运算结果，例如：
1. (1±i)² = ±2i；
2. 1+i/1-i = i；
3. 1-i/1+i = -i；
4. i^(4n) = 1，i^(4n+1) = i，i^(4n+2) = -1，i^(4n+3) = -i (n∈N*)；
5. z*z- = |z|² = |z-|²，|z1*z2| = |z1|*|z2|，z1/z2 = |z1||z2|，|zn| = |z|^n。
复数的加法几何意义表示向量的合成，减法则表示向量的差，这些概念在解决复数问题时非常有用，尤其是在高考数学考试中。
通过给出的高考真题，我们可以看到如何应用这些概念来解题。例如，求解 z = (1+i)/(1-i) 或者计算 z*z-，都需要利用到复数的运算法则和共轭复数的概念。对于复数 z 在复平面上的位置判断，通常涉及到实部和虚部的值以及它们的符号。
复数理论是高中数学的重要组成部分，它不仅涵盖了基本的代数概念，还涉及几何、向量运算和推理等多个方面，对于学生理解和解决问题至关重要。在高考复习中，熟练掌握复数的定义、性质、运算规则及其几何意义，能有效提高解题能力，为高考取得好成绩打下坚实基础。
