在高中数学中，函数的单调性和最值是重要的概念，特别是在备考高考时，这是考生必须掌握的基本内容。这里我们分析一下题目中涉及的知识点。
1. **单调性**：一个函数在某区间内如果始终保持递增或递减，我们就说它在该区间具有单调性。例如，函数`y = -2x + 1`、`y = lg x`和`y = x^3`在它们的定义域内分别具有单调递减、单调递增和单调递增的性质。而函数`y = `在不同区间有不同的单调性，因此在整体定义域内不具备单调性。
2. **最值**：函数在某个区间内的最大值或最小值称为最值。例如，题目中提到的函数`f(x) = x^2 - 2x + m`在区间`[3, +∞)`上的最小值可通过二次函数的对称轴找到，即`x = 1`，但由于给定区间为`[3, +∞)`，函数在该区间内单调递增，所以最小值在区间的左端点`x=3`取得。
3. **对数函数的单调性**：对数函数`log_a x`（其中`a > 0`且`a ≠ 1`）当`a > 1`时单调递增，当`0 < a < 1`时单调递减。例如，`f(x) = log0.5(x+1) + log0.5(x-3)`在`x > 3`的区间内单调递减。
4. **绝对值函数的单调性**：绝对值函数`|x + a|`在`(-∞, -a)`上单调递减，在`[-a, +∞)`上单调递增。如果要求在某个特定区间上单调，如`(-∞, -1)`，需要确保`-a`位于该区间的右边。
5. **复合函数的单调性**：复合函数的单调性由其内部函数和外部函数的单调性决定。例如，题目中的`f(x) = |x - 2|x`，通过分析每个部分的单调性，可以确定其单调递减区间。
6. **偶函数的性质**：偶函数`f(x)`满足`f(-x) = f(x)`，如果它在区间`[0, +∞)`上单调递增，那么在`(-∞, 0]`上单调递减。利用这个性质，可以比较`f(-1)`和`f(a^2 - 2a + 3)`的大小。
7. **参数的取值范围**：为了确保函数的单调性或最值满足特定条件，我们需要找到参数的合适取值。例如，`f(x) = (x - m)/(x - n)`，要求最小值为0，需要`m`的取值范围。
8. **函数定义域与单调性的关系**：如`y = log2(ax - 1)`，要保证在`(1, 2)`区间单调递增，需保证`a > 0`且`a - 1 >= 0`，从而确定`a`的取值范围。
9. **不等式的解法**：在解决函数单调性和最值问题时，经常需要解不等式，比如`f(0)`是最小值时，需要找出`a`的范围，使得`f(0)`小于等于`f(x)`对所有`x`成立。
10. **函数比较**：对于偶函数`f(x)`，如果在区间`[0, +∞)`上单调递增，那么对于偶数项`f(-x)`和奇数项`f(x)`，可以比较它们的大小关系，例如`f(-1)`和`f(a^2 - 2a + 3)`。
11. **函数图像的交点**：在寻找函数的最大值或最小值时，有时需要考虑函数图像的交点，如`f(x) = min(2-x^2, x)`，这涉及到分段函数的最值问题。
这些题目主要考察了函数单调性、最值、对数函数、绝对值函数、偶函数、复合函数的性质以及参数的取值等问题，这些都是高中数学中函数部分的重要知识点，对于高考复习具有很高的参考价值。
