【知识点详解】
1. **倍角公式**：倍角公式是三角函数中的一种重要公式，主要用来将一个角的正弦、余弦或正切表示为该角一半的正弦、余弦或正切的平方形式。对于正弦和余弦，倍角公式包括以下形式：
- \( \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \)
- \( \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha \)
2. **应用举例**：
- 题目1中通过 \( \sin\alpha - \cos\alpha = \frac{4}{3} \) 可以推导出 \( \sin2\alpha = -\frac{7}{9} \)，这体现了如何利用倍角公式解决实际问题。
- 题目2中的函数 \( f(x) = \frac{\tan x}{1 + \tan^2x} \) 可以化简为 \( \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}} = \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin2x \)，进而求出周期，体现了三角函数的化简和周期性。
3. **正弦的二倍角公式**：题目3和4利用了正弦的二倍角公式 \( \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \) 来求解 \( \tan2\alpha \) 或 \( \cos2\alpha \) 的值。
4. **余弦的二倍角公式**：题目5通过余弦的二倍角公式 \( \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \) 求解 \( \cos2\alpha \) 的值，并利用诱导公式和倍角公式求和。
5. **和差化积与倍角公式结合**：题目6中，通过和差化积公式和倍角公式求解 \( \tan2\alpha \) 的值。
6. **半角公式**：题目7中，利用 \( \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \) 和 \( \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \) 的关系求解 \( \cos2(\alpha + \frac{\pi}{4}) \)。
7. **三角函数的单调性和最值**：题目8中，函数 \( f(x) = 2\sin x\cos x + 3\cos^2x + 2 \) 可以化简为 \( f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 2 \)，根据正弦函数的单调性和周期性，可以找到其单调区间和在特定区间内的最值。
8. **正切的二倍角公式**：题目1的解答中，虽然没有明确提及，但求解 \( \tan2\alpha \) 的过程实际上用到了正切的二倍角公式 \( \tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \)。
9. **三角函数的周期性**：题目2和题目3涉及到函数的周期性，其中 \( f(x) \) 的周期可以通过基本三角函数的周期来确定。
10. **三角函数的最值**：题目8中的函数 \( f(x) \) 在给定区间上寻找最值，需要考虑正弦函数的取值范围以及其在区间内的变化情况。
这些题目涵盖了三角函数中的倍角公式、半角公式、和差化积、周期性、单调性以及最值等核心概念，通过实际问题的解决，展示了这些知识点的应用方法和技巧。
