等差数列是高中数学中的基础概念，它在数列的序列中扮演着重要的角色。一个等差数列是这样一种数列，其中任意相邻两项的差是一个常数，这个常数被称为公差（通常用字母\(d\)表示）。等差数列的通项公式可以表示为\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)，其中\(a_1\)是首项，\(d\)是公差，\(n\)是项数。
1. 公差的计算：例如，如果已知等差数列的通项公式为\(a_n = 3 - 2n\)，可以通过比较相邻两项来确定公差，如\(a_2 - a_1\)，得到\(d = -2\)。
2. 项数的确定：在等差数列中，如果知道首项\(a_1\)、公差\(d\)以及某一项\(a_n\)，可以通过通项公式解出项数\(n\)。例如，如果\(a_1 = \frac{1}{2}\)，\(a_n = 35\)，且\(a_2 + a_5 = 4\)，可以通过解方程\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)找到\(n\)的值，这里\(d = \frac{1}{2}\)。
3. 等差中项：如果\(x\)是\(a\)和\(b\)的等差中项，意味着\(x = \frac{a + b}{2}\)。若\(x^2\)是\(a^2\)和\(-b^2\)的等差中项，那么\(2x^2 = a^2 - b^2\)。通过解这个方程，可以找出\(a\)和\(b\)的关系。
4. 数列的性质：在等差数列{a_n}中，如果\(2a_{n+1} = 2a_n + 1\)，可以推导出\(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}\)，这意味着数列的公差是\(\frac{1}{2}\)。因此，对于\(a_{2015}\)，可以利用通项公式计算得出。
5. 绝对值最小的项：等差数列的绝对值最小的项出现在序列的中间位置，如果公差是负数，则是正数部分的最小值。例如，首项为70，公差为-9的数列，其绝对值最小的项会在正数部分中找到。
6. 应用：在等差数列{a_n}中，如果已知\(a_3 = 7\)，\(a_5 = a_2 + 6\)，可以利用公差\(d\)找到\(a_6\)的值，即\(a_6 = a_3 + 3d\)。
7. 公差的求解：如果等差数列{a_n}满足\(a_7 - 2a_4 = -1\)，\(a_3 = 0\)，可以列出两个关于\(d\)的方程来解出公差。
8. 递推关系：如果数列满足\(a_{n+1} = a_n + 4\)，则可以得出数列是以4为公差的等差数列，根据\(a_1 = 1\)，可以写出\(a_n\)的通项公式。
9. 验证等差数列：如果数列满足\(a_{n+1} = \frac{a_n + 4}{2}\)，通过计算可以发现每一项与前一项的差是一个常数，从而证明数列是等差数列。
10. 等差数列的性质：如果三个数\(a, b, c\)成等差数列，那么它们的平方\(a^2, b^2, c^2\)也成等差数列，这是等差数列的平方性质。
在应试能力达标的题目中，我们可以看到更多的实际应用和计算技巧，例如：
1. 如果\(a_p = q\)，\(a_q = p\)，那么\(a_{p+q}\)的值可以通过等差数列的性质计算出来，这里是0。
2. 如果两个数列分别以相同的x、y作为端点，并且都是等差数列，那么它们的公差之间的比例关系可以通过等差数列的性质求出。
3. 如果点P_n(n, a_n)都在直线y = 2x + 1上，那么数列{a_n}的通项可以表示为线性函数，即\(a_n = 2n + 1\)，因此它是公差为2的等差数列。
4. 在一个正项等差数列中，连续两项的乘积不一定是它们平均值的平方，而是小于这个平方，即\(a_3a_6 < a_4a_5\)。
以上就是等差数列的一些基本概念、性质及其在具体问题中的应用，这些都是高中数学学习的重点，对于理解和解决相关问题至关重要。
