在高中数学的学习中，第二章“空间点直线平面之间的位置关系”是几何学的一个核心部分，特别是关于“直线与平面垂直的性质”。本章节聚焦于理解三维空间中的几何概念，如直线、平面以及它们之间的垂直关系。以下是针对该主题的详细讲解：
**一、直线与平面垂直的性质**
1. **性质定理**：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线垂直，那么这条直线就垂直于整个平面。这可以用符号语言表示为：若 **l ⊥ α**，其中 **l** 是直线，**α** 是平面，则对于平面 **α** 内的任意直线 **m**，都有 **l ⊥ m**。
2. **图形语言**：在图形中，直线与平面垂直通常表示为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直，即两个向量的点积为零。
**二、证明线面垂直的性质定理**
证明这个定理通常涉及线线垂直、线面垂直和平面间的关系。如果 **l ⊥ α**，我们可以选取平面 **α** 内的两条相交直线 **m** 和 **n**，由于 **l ⊥ m** 和 **l ⊥ n**，所以 **l** 必须垂直于这两条直线所确定的平面。因为 **m** 和 **n** 在 **α** 内，所以 **l** 必须垂直于整个平面 **α**。
**三、实际应用**
在实际问题中，例如在建筑或设计领域，确定直线与地面垂直是非常常见的。例如，在黑板上画一条与地面垂直的直线，可以借助直尺和铅垂线（重力方向）来实现，确保直线与铅垂线保持一致，从而保证直线与地面垂直。
**四、达标检测题目解析**
1. 对于命题的正确性：
- ① 正确，这是平行线的传递性。
- ② 错误，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面。
- ③ 错误，平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面。
- ④ 正确，这是线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行。
2. 已知 **l ⊥ α** 且 **l ⊥ β**，点 **A** 在 **α** 内，点 **B** 在 **β** 内，**AA** 和 **BB** 分别是 **l** 在 **α** 和 **β** 上的射影，则 **AA** 和 **BB** 是垂直于 **l** 的，因此 **AA ∥ BB**。根据线面垂直的定义，**AA** 与 **BB** 的延长线相交于一点，设为点 **C**，则 **l ⊥ AC**。由于 **l ⊥ α** 和 **l ⊥ β**，所以 **AC ⊥ α** 且 **AC ⊥ β**，因此 **AC** 是 **α** 和 **β** 的交线，即 **l // AC**。
3. 对于正方体 **ABCD—A1B1C1D1**，（1）**BD1** 是对角线，由于正方体的对角线与各个面的交线垂直，所以 **BD1 ⊥ B1AC**，进而 **BD1 ⊥ 平面 B1AC**。（2）求点 **B** 到平面 **B1AC** 的距离，可以通过作垂直于平面的高来计算，高即为 **BB1** 的长度，因为 **BB1** 是正方体棱长 **a**，所以距离为 **a**。
通过这些例子，我们可以深入理解直线与平面垂直的性质，并能解决相关的几何问题。这不仅有助于学生掌握理论知识，还有助于他们在实际问题中应用这些知识。
