在高中数学的学习中，空间几何体是至关重要的一个章节，特别是球的表面积与体积的计算，这在解决实际问题和理论分析中都有着广泛的应用。本导学案聚焦于这一主题，旨在帮助学生掌握相关知识并提升解题能力。
我们需要理解球的基本概念和性质。球是由所有与定点（球心）距离相等的点构成的集合，这个距离被称为球的半径。在三维空间中，球的表面积和体积有着明确的公式：
1. 球的表面积公式：\( S = 4\pi r^2 \)，其中 \( S \) 表示球的表面积，\( r \) 是球的半径。
2. 球的体积公式：\( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)，其中 \( V \) 表示球的体积。
在实际问题中，例如导学案中的第1题，我们可以通过分析几何关系来判断冰淇淋是否会从杯子中溢出。如果圆锥形杯子的底面直径大于冰淇淋的直径（即半球的直径），那么即使冰淇淋融化成液体，其体积仍小于杯子的容积，因此不会溢出。
第2题涉及到了空心钢球的质量计算。根据题目给出的信息，我们可以利用质量、密度和体积的关系来求解内径。钢球的质量等于其内部空心部分和实心部分的质量之和，再结合钢的密度，可以列出方程求解内径。
第3题中，给出了过球面上三点的截面与球心的距离，以及截面三角形的边长关系，我们可以利用球的性质和几何关系来求解球的半径，进而计算球的表面积。
第4题探讨的是球内接圆柱的侧面积最大值问题。这个问题需要用到微积分中的极值问题，通过建立圆柱侧面积与底面半径的关系式，然后求导找到使侧面积最大的半径值。
在达标检测部分，第1题需要求解的是一个组合体的表面积和体积，需要将圆柱体和圆环的表面积及体积分别计算后相加。第2题则需要利用球的表面积公式和正四棱柱的性质，联立求解正四棱柱的表面积。第3题中，四点P、A、B、C在球面上且两两垂直，说明它们位于一个正方体的对角线上，可以利用勾股定理和球的体积公式来解决问题。
总结来说，这部分内容要求学生具备扎实的空间想象能力和代数运算技巧，能够灵活运用球的表面积和体积公式，解决实际问题和理论推导。通过这样的导学案，学生可以逐步深化对球体几何的理解，并提升解决复杂问题的能力。
