【知识点一】:函数性质
1. 函数 `[x[x]]` 在区间 `(-1,1)` 上的性质。此函数涉及到的是取整函数 `[x]` 的复合应用,其中 `[x]` 表示不大于 `x` 的最大整数。在区间 `(-1,1)` 内,`[x]` 可能的值为 `-1`, `0`, `1`,这取决于 `x` 的精确值。由于 `[x[x]]` 是 `[x]` 对自身再次取整,其行为将取决于 `[x]` 的值。例如,当 `x` 在 `(0, 1)` 之间时,`[x] = 0`,所以 `[x[x]] = [0] = 0`。因此,这个函数在 `(-1,1)` 上不是奇函数、偶函数,也不是单调函数,而是分段常数函数。
2. 准偶函数的定义。一个函数 `f(x)` 被称为准偶函数,如果对于所有定义域内的 `x`,都有 `f(x) = f(2a - x)`,其中 `a` 是常数且 `a ≠ 0`。这表明函数的图像关于直线 `x = a` 对称。提供的选项中,只有 `f(x) = cos(x + 1)` 满足这一性质,因为 `cos(-x) = cos(x)`,并且 `cos(2a - x + 1)` 可以通过三角恒等式化简为 `cos(x + 1)`。
【知识点二】:几何问题与圆的性质
3. 圆面的面积和与不等式的关联。题目中提到的圆面 `(x-a)^2 + y^2 ≤ a^2 - 1` 是一个半径为 `|a| - 1` 的圆的一部分。要找到实数 `a` 的取值范围,使得圆面与平面区域 `2x + y ≤ 4` 的公共面积大于圆面面积 `S`,需要考虑这两个图形的交集。通常,这个问题需要画图分析,找到 `a` 的值使得圆心在不等式区域内部或与边界相切,以便确定公共面积大于圆面面积的条件。
【知识点三】:复数运算与逻辑
4. 复数的定义和运算性质。题目中定义了一个新的运算 `ω1*ω2 = ω1ω2^*`,其中 `^*` 表示共轭复数。对于复数的运算,我们需要理解共轭复数的性质以及加法、乘法的结合律和分配律。根据题目给出的四个命题,我们可以逐一验证每个命题是否正确。例如,命题①可以通过共轭的乘法规则验证,而命题④涉及复数乘法的交换律,这在一般情况下不成立,除非 `ω1 = ω2`。
【知识点四】:向量和坐标平面
5. 向量的坐标表示与对称性。题目描述了点 `A` 和 `B` 关于 `y` 轴对称,以及向量 `a = (1, k)`。向量 `OA` 和 `AB` 的关系可以用来建立不等式 `OA^2 + a·AB ≤ 0`,并据此求解点 `A` 的坐标集合。这个集合应该是一个关于 `y` 轴对称的图形。
【知识点五】:符号函数
6. 符号函数 `sgn x` 的定义和性质。符号函数 `sgn x` 输出 `x` 的符号,即 `sgn x = 1` 当 `x > 0`,`sgn x = 0` 当 `x = 0`,`sgn x = -1` 当 `x < 0`。利用这个定义,我们可以比较选项并找出正确的表达式。
【知识点六】:新定义运算与函数性质
7. 定义新运算 `*` 并研究函数 `f(x) = (e^x)*` 的性质。新运算 `a*b = ab + a*0 + b*0` 包含了加法、乘法和新定义的 `*0` 运算。函数 `f(x) = (e^x)*` 可以通过新运算的规则进行展开,然后分析其性质。例如,函数的最小值、奇偶性和单调性。
【知识点七】:M 函数的定义
8. M 函数的定义和性质。M 函数是一种特殊的函数,满足两个条件:(1)函数值非负,(2)具有可加性。题目给出了三个函数,需要判断它们是否符合 M 函数的定义。例如,`f(x) = x^2` 显然是非负的,而且满足可加性条件,因此是 M 函数。
【知识点八】:“成功函数”的定义
9. “成功函数”是指在特定区间上有固定值域的单调函数。函数 `f(x) = log_c(cx + t)` 要成为“成功函数”,必须满足单调性和值域条件。单调性可以通过导数判断,值域条件需要对 `c` 和 `t` 进行分析。
【知识点九】:折线距离与几何形状
10. 折线距离定义了一个新的距离概念,它等于两点之间水平和垂直距离之和。根据这个定义,我们可以分析每个命题的正确性。例如,折线距离等于 1 的点的集合不是一个圆,因为它没有考虑到距离是水平和垂直距离之和。
【知识点十】:集合论与组合数学
11. 集合 `B` 的元素个数计算。集合 `B` 的元素是形如 `(x, y)` 的对,其中 `x` 和 `y` 属于集合 `{1, 2, 3, 4, 5}` 且 `x - y` 也在该集合内。计算这样的元素个数需要考虑 `x` 和 `y` 的所有可能组合,并检查 `x - y` 是否也在集合内。
【知识点十一】:凸集的概念
12. 凸集的定义及图形判断。凸集是任何两点间连线都在集合内的点集。通过对每个图形进行分析,可以判断哪些图形满足这个定义。
【知识点十二】:有心曲线与定理推广
13. 有心曲线的定理推广。原定理指出,圆上的非直径两点连线的斜率乘积为 `-1`。推广到更一般的有心曲线,如椭圆 `x^2/m + y^2/n = 1`,可以发现类似的关系,即非主轴方向的弦的斜率乘积为一个与曲线参数有关的定值。
以上知识点覆盖了高中数学的多个重要领域,包括函数性质、几何问题、复数运算、向量分析、特殊函数定义及其性质、集合论以及平面几何的拓展概念。这些知识点对于理解和解答高难度的数学问题至关重要。