【椭圆的基础知识】
椭圆是高中数学中圆锥曲线的一种基本类型，它在实际生活中有许多应用，例如在天文学中描述行星轨道、光学系统的设计等。椭圆的定义是平面内，到两个固定点（焦点）F1和F2的距离之和等于一个常数2a的点的集合，这个常数2a大于两焦点之间的距离|F1F2|。这两个定点F1和F2就是椭圆的焦点，它们之间的距离称为焦距。
【椭圆的标准方程】
椭圆的标准方程有两种形式，取决于焦点的位置。如果焦点在x轴上，标准方程为：
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
其中a>b>0，a是半长轴，b是半短轴，c是半焦距，满足关系式\( a^2 = b^2 + c^2 \)。
如果焦点在y轴上，标准方程则为：
\[ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \]
同样有\( a^2 = b^2 + c^2 \)，只是x和y的位置互换。
【椭圆的性质】
1. 椭圆的形状和大小由a和b决定，焦距由c决定，满足\( c^2 = a^2 - b^2 \)。
2. 椭圆的形状不会因为旋转而改变，只与a和b的比例有关。
3. 当2a等于|F1F2|时，轨迹变为线段F1F2；当2a小于|F1F2|时，没有轨迹存在。
4. 椭圆的标准方程可以变形为一般形式Ax^2 + By^2 = 1，通过比较A和B的值来判断焦点位置。
【求解椭圆方程的方法】
1. **定义法**：根据椭圆的定义，结合题目给出的条件直接建立方程。
2. **待定系数法**：首先设定椭圆的标准方程，然后根据题目中的条件求解参数a和b。
【例题解析】
(1) "0<m<2"不是充分条件来表示方程\( x^2/m + y^2/(2-m) = 1 \)表示椭圆，因为椭圆需要满足\( m \neq 2-m \)以及\( m > 0, 2-m > 0 \)，所以正确答案是C，必要不充分条件。
(2) 椭圆\( x^2/(10-m) + y^2/(m-2) = 1 \)的焦距为4，意味着\( c = 2 \)。由于焦点在y轴上，有\( m-2 = 10-m + 4 \)，解得\( m = 8 \)。
(3) 求椭圆标准方程的题目中，(1)可以通过焦点坐标(±4,0)和经过点(5,0)来求解，(2)则需考虑焦点位置的不确定性，分别求解x轴和y轴上的椭圆方程。
在处理椭圆问题时，理解椭圆的定义和标准方程是关键。同时，要熟悉各种求解方法，并能够灵活运用，解决实际问题。对于椭圆的性质，如焦距、半长轴和半短轴的关系，需要牢记并能熟练应用。通过例题解析和练习，可以加深对椭圆概念的理解，并提升解题能力。
