四川省成都市高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理导学提纲学案新人教A版选修2_320180727127

【二项式定理】是高中数学中的一个重要概念，它阐述了当一个二项式 `(a+b)` 被幂次 `n` 次方时的展开形式。具体来说，`(a+b)^n` 可以展开为一系列的项之和，即 `(a+b)^n = a^n + na^(n-1)b^1 + ... + C(n, k)a^(n-k)b^k + ... + b^n`，其中 `C(n, k)` 是组合数，也称为二项式系数，表示从 `n` 个不同元素中取 `k` 个元素的组合数目。对于每个 `k`（从0到n），都有一个对应的二项式系数 `C(n, k)`。 【展开式中的通项公式】是 `(a+b)^n` 展开式中任意一项的表达式，表示为 `Tk+1 = C(n, k)a^(n-k)b^k`，其中 `k` 从0到n变化，`Tk+1` 表示的是展开式的第 `k+1` 项。这里的 `C(n, k)` 是二项式系数，`a^(n-k)` 和 `b^k` 分别代表了原二项式中 `a` 和 `b` 的指数。 学习二项式定理的目的在于能够熟练应用其展开式解决各种问题，如： 1. **正用**：直接利用二项式定理展开 `(a+b)^n` 得到具体的项。 2. **逆用**：根据特定条件，反推出 `a` 和 `b` 的关系，或者确定展开式中某一项的值。 3. **通项的应用**：通过通项公式解决特定项（如含 x 的一次项、常数项）的问题。 4. **实际应用**：如在信息编码、模算术、概率计算等领域，二项式定理可以用来简化计算。 例如，题目中的例1和例2要求利用二项式定理直接展开 `(a+2b)^4` 和 `(2x-)^5`，而例3则要求利用二项式定理解决实际的整除和证明问题。 在深入学习部分，题型一和题型二主要关注如何运用二项式定理进行展开和通项的应用。例如，题型一的跟踪训练1要求求解 `(3+)^4` 的展开式，并化简 `(x-1)^5 + 5(x-1)^4 + 10(x-1)^3 + 10(x-1)^2 + 5(x-1)`。题型二的跟踪训练2则需要找到 `(2x^2 - 3/1x)^8` 展开式中第5项的二项式系数和系数，以及 `x^2` 的系数。 题型三进一步展示了二项式定理的实际应用，如在数论问题中寻找余数或证明整除性。例3中的两个小问分别涉及模运算和整除性证明，而跟踪训练3则要求证明一个关于2的幂的和可以被31整除。 例4要求找到 `(x+ -1/2)^5` 展开式中的常数项，这需要对通项公式有深刻的理解，因为常数项是指展开式中不含变量x的项。 通过这样的学习提纲，学生应能逐步掌握二项式定理的基本概念，熟悉通项公式的应用，并能运用这些知识解决实际问题，包括但不限于展开、特定项的查找以及实际应用问题的解决。