【知识点详解】
1. 反比例函数的基本概念：反比例函数的形式为 \( y = \frac{k}{x} \)，其中 \( k \) 是常数，\( x \neq 0 \)。它描述了两个变量之间成反比的关系，即一个变量增大时，另一个变量会减小。
2. 反比例函数的性质：
- 当 \( k > 0 \) 时，函数图像分布在第一、第三象限，随着 \( x \) 的增大，\( y \) 值减小。
- 当 \( k < 0 \) 时，函数图像分布在第二、第四象限，随着 \( x \) 的增大，\( y \) 值增大。
3. 反比例函数的焦距与度数关系：在验光中，近视眼镜的度数与镜片焦距成反比，即 \( y = \frac{k}{x} \)。根据给出的数据，可以计算出 \( k \) 的值并确定度数与焦距的关系。
4. 反比例函数的图像性质：反比例函数图像为双曲线，分为两支，每支关于原点对称。若函数在各象限内 \( y \) 随 \( x \) 的增大而减小，则 \( k > 0 \)。
5. 反比例函数的最大值问题：对于反比例函数 \( y = \frac{5}{x} \)，当 \( 1 < x \leq 4 \) 时，\( y \) 的最大值出现在 \( x \) 最小的时候，即 \( x = 1 \) 时。
6. 反比例函数图像上的点的坐标特性：如果点 \( P \) 和点 \( Q \) 都在反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 的图像上，那么 \( P \) 和 \( Q \) 两点关于原点对称。
7. 反比例函数的面积问题：反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 图像上一点 \( A \) 到坐标轴所构成的矩形面积等于 \( k \)。
8. 反比例函数图象的平移：点 \( P \) 在反比例函数上，平移到点 \( Q \)，平移前后点的坐标的乘积保持不变，因此可以求解 \( k \) 的值。
9. 反比例函数图像上的点的坐标特性：对于反比例函数 \( y = \frac{-1}{x} \)，点 \( A \)，\( B \)，\( C \) 的 \( y \) 值的大小关系取决于它们的 \( x \) 值的绝对值，越靠近原点的点其 \( y \) 值越大。
10. 一次函数与反比例函数的交点：一次函数 \( y_1 = kx + b \) 与反比例函数 \( y_2 = \frac{m}{x} \) 的交点满足两个方程同时成立，可以通过解方程组找到交点坐标，进而求解函数解析式。
11. 反比例函数图像上的三角形面积比较：对于反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 上的点 \( P \)，其与坐标轴构成的三角形面积只与 \( k \) 有关，而与点的位置无关。
12. 直角三角形与反比例函数的结合：在直角坐标系中，已知直角三角形的顶点坐标，可以通过反比例函数图像找到另一点的坐标，进而求解 \( k \) 的值。
13. 函数图像交点的坐标与代数关系：通过解方程组找到两个函数 \( y = 3x \) 和 \( y = -2x - 6 \) 的交点 \( (a, b) \)，然后利用交点坐标推导 \( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} \) 的值。
14. 一次函数与反比例函数的综合问题：通过交点坐标确定两个函数的解析式，并根据条件找到满足特定距离关系的点。
15. 双曲线旋转与三角形面积：双曲线 \( y = \frac{k}{x} \) 绕原点旋转后，新双曲线与直线 \( y = x \) 交于点 \( P \)，过 \( P \) 作垂直线段，求解交点 \( Q \) 与 \( P \) 构成的三角形面积。
16. 函数图像与实际问题的联系：根据函数图象分析恒温系统对环境温度的影响，解决实际中的恒温控制问题。
以上知识点涵盖了反比例函数的基本性质、图像特征、应用问题以及与一次函数、几何图形的综合问题，有助于深入理解反比例函数在数学和实际问题中的应用。
