这篇文章是关于九年级数学下册27.2.5章节的内容，主要讨论相似三角形的周长和面积的关系。在几何学中，相似三角形是指两个或多个形状完全相同但大小不同的三角形，它们的对应角相等，对应边的比例相同。
1. 相似三角形的周长比等于它们对应边的比例。例如，如果ΔABC与ΔA'B'C'相似，且AB: A'B' = 2:1，如果ΔABC的周长是18cm，那么ΔA'B'C'的周长将是9cm。
2. 相似三角形的面积比等于它们对应边比例的平方。所以，如果AB: A'B' = 12:1，那么ΔABC的面积是25cm²，ΔA'B'C'的面积将是25cm² / (12²/1²) = 25cm² / 144 = 100/576cm² = 25/576cm²。
3. 当DE∥BC时，根据平行线分割线段成比例的性质，可以得出ΔADE与ΔABC相似。若AD=3，BD=2，且AF⊥BC交DE于点G，则AG: AF = AD: AB = 3: (3+2) = 3:5。因此，ΔAGE与ΔAFC的相似比也是3:5。
4. 在平行四边形ABCD中，如果K在BC上，且BK: KC = 2:3，那么ΔADE与ΔKBE的周长比等于它们对应边的比，即2:3。面积比等于周长比的平方，即4:9。
5. 在梯形ABCD中，如果AC与BD相交于点O，且ΔAOD与ΔCOB的面积比为1:4，设BD=12cm，可以通过相似三角形的面积比来计算BO的长度。由于面积比等于对应边平方的比例，所以BO的长度是OD的四倍，即BO = 4 * OD。
6. 当DE∥BC时，如果SΔADE = S四边形BCED，这意味着ΔADE的面积等于其对应平行四边形的一半。因此，AD: BD的比值是1:1，因为它们代表了等高但底边不同的三角形的边长。
7. 在ΔABC中，如果DC=AC，且CF是∠ACB的平分线，我们可以证明EF∥BC。根据题目中的条件，我们可以推断出四边形BDFE的面积，并进一步求出ΔABD的面积。
8. 如果ΔADE与ΔABC的相似比为1:2，那么它们的面积比为相似比的平方，即1:4。
9. 在梯形ABCD中，如果SΔAOD : SΔBOC = 1:4，我们可以推断出SΔAOD : SΔACD的比值。由于AD∥BC，我们可以利用相似三角形的面积比来解决这个问题。
10. 在ΔABC中，如果D、E是AB上的点，且AD=DE=EB，DF∥EG∥BC，我们可以分析这些条件来确定三个区域的面积比。
11. 已知两个相似三角形的周长比是56cm:72cm，面积比等于周长比的平方，即49:144。
12. 如果一个多边形被改造成与它相似的多边形，面积缩小为原来的2/3，那么边长会缩小为原来的√(2/3) = 2/√3。
13. 菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A'B'C'D'的位置，若重叠部分的面积是菱形ABCD面积的一半，且AC=2，我们可以计算菱形移动的距离AA'。
14. 若两相似三角形对应高的比为3:10，大三角形的面积为400cm²，我们可以先计算小三角形的面积，然后利用周长比等于相似比来找出它们的周长。
15. 已知△ABC与△A'B'C'相似，相似比为3:4，△ABC的周长为6，则A'B'C'的周长为6 * (4/3) = 8。
16. 在ΔABC中，如果D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，当ΔABC的面积为16时，根据三角形中位线的性质，ΔDEF的面积是ΔABC面积的1/4，即4cm²。
这些题目覆盖了相似三角形的周长与面积的关系，以及如何利用这些关系来解决问题。通过解决这些问题，学生可以深入理解相似多边形的性质，并学会将这些概念应用于实际问题中。
