数列和函数的极限是高中数学中的核心概念，它们在解决实际问题中起着至关重要的作用。数列的极限描述了一列数随着项数无限增加时趋近于一个确定的数值，而函数的极限则是在自变量无限接近某一特定值时，函数值趋于稳定的状态。
1. **数列的极限**：
- **数列定义**：数列是由一个法则确定的、按照顺序排列的一系列数。每个数称为数列的项，第n项an是数列的通项。
- **极限概念**：极限是通过观察数列项的变化规律，当项数n趋向无穷大时，数列趋于一个固定值。例如，刘徽的割圆术展示了圆的内接正多边形面积An随边数增加无限接近圆的面积。
- **数列极限定义**：如果存在一个常数a，对于任何给定的正数ε，总能找到一个正整数N，使得当n>N时，数列的项an与a之间的差的绝对值小于ε，那么a就是数列的极限。
- **几何解释**：在数轴上，数列的极限a意味着数列的点将最终落入以a为中心，宽度为2ε的开区间内，而当n足够大时，几乎所有的点都会在这个区间内。
2. **数列的有界性**：
- **有界数列**：如果数列的所有项的绝对值不超过某个正数M，那么该数列是有界的。例如，数列1,-1,1,-1,...是有界的，但并不收敛。
- **定理**：收敛的数列必然是有界的，但有界并不保证数列一定收敛。
3. **函数的极限**：
- **自变量趋向无穷大时的极限**：当函数f(x)的自变量x趋向于无穷大时，如果函数值f(x)无限接近于常数A，那么A就是函数的极限。形式上，对于任意ε>0，存在X>0，使得当x>X时，|f(x) - A| < ε。
- **自变量趋向有限值时的极限**：函数在某点x0处的极限，是当x接近x0时，函数值无限接近A。形式上，对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x - x0|<δ时，|f(x) - A| < ε。这说明，函数在x0附近的值随着x靠近x0而逼近A。
4. **数列与函数极限的对比**：
- 数列的极限可以视为自变量为正整数的特殊函数的极限，而函数的极限扩展了这一概念，允许自变量连续变化。
了解这些基本概念后，学生可以进一步学习如何求解数列和函数的极限，以及极限在微积分和其他数学分支中的应用。数列和函数的极限是理解连续性、导数和积分的基础，是高等数学的重要基石。
