这些题目涉及的是高中数学中的空间几何知识，主要探讨了直线和平面平行的判定与性质。以下是对这些知识点的详细解析：
1. 直线与平面平行的性质：如果直线a平行于平面α，那么a不会与α内的任何直线相交，但α内有无数条直线与a平行，同时，a上的所有点到平面α的距离都是相等的。选项A错误，因为a并不平行于α内的所有直线，而是与它们不相交。
2. 平面平行的判定：如果两个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。所以，选项D正确，l⊥α，m⊥β，且l∥m，意味着α与β互相平行。
3. 直线和平面平行的性质与判定：直线a平行于平面α，如果α内有两条相交直线与a平行，那么a确实平行于α。同样，如果一条直线平行于两个平面，它也平行于这两个平面的交线。所以，选项①和②是正确的，而③和④是错误的，因为一条直线平行于一个平面并不意味着它平行于平面内的所有直线，也不意味着平面平行于这条直线。
4. 直线和平面垂直的性质：如果一条直线垂直于平面，那么它垂直于平面内的所有直线。因此，选项A正确。选项B错误，因为两个平行平面内的直线可能平行但不一定相交。选项C错误，直线垂直于平面并不意味着它平行于与平面垂直的其他直线。选项D错误，因为两个平面内的两条平行线不能直接推断出这两个平面平行，还需要这两条线是相交的。
5. 平面平行的判定：平面α和β平行可以由以下条件得出：α内的两条相交直线分别平行于β。选项A和B不正确，因为垂直于同一个平面的平面可能是相交的。选项C正确，因为l和m在α内平行，并且都平行于β，这意味着α和β平行。选项D不正确，因为需要l和m相交才能得出α∥β。
6. 当平面α和β平行时，如果A和B分别在两个平面上移动，那么连接A和B的中点C将始终共面，这表明C的轨迹是一个平面。因此，答案是D。
7. 平行线的性质与平面平行的判定：如果两个平面内的两条平行线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。所以，选项D正确，即m∥l1且n∥l2。
8. 在等边三角形问题中，动点A'在平面ABC上的射影总是在线段AF上，这是由于旋转的性质。BC与平面A'DE的关系无法确定，因为没有给出BC是否平行于DE。三棱锥A'-FED的体积在某些条件下可以达到最大值，例如当A'位于DE的中点时。因此，选项①和③是正确的。
9. 长方体截取问题：如果EH∥A1D1，那么根据平行线的性质，FG也应该平行于A1D1，因此EH∥FG。四边形EFGH是矩形，因为它是长方体的对角线截取的平面部分。Ω是被截取后的几何体，可能是棱柱或棱台，具体取决于E和F的位置。选项B是正确的。
10. 在正方体问题中，利用中点性质和相似三角形，可以计算出PQ的长度。
11. 在正四棱柱问题中，要使MN∥平面B1BDD1，M需要在四边形EFGH的对角线上移动，或者与中点N重合。
12. 三个命题中的缺失条件可能是“l⊄α”，因为一条直线要平行于一个平面，它不能在该平面内。
13. 四棱锥的问题中，BE与平面PAD的位置关系可能是垂直、平行或斜交，具体取决于点E的位置。
14. 三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，如果要证明BE∥平面PAD，需要进一步的信息，如BE与PD的关系或者平面PAD的性质。
以上是对题目中涉及的空间几何知识的详细解释，包括直线和平面平行的判定与性质，以及平面和平面平行的判定，同时也涵盖了立体几何中的截面、旋转、平行线和垂直线的性质。这些知识点是高中数学学习的重点，对理解和解决复杂的空间几何问题至关重要。
