【北京特级教师 同步复习精讲辅导】2014-2015高中数学 合情推理与演绎推理讲义 新人教版选修2-2

在高中数学的学习中，合情推理与演绎推理是两种重要的逻辑推理方式，它们在解决数学问题和构建数学理论中起到至关重要的作用。合情推理，也称为归纳推理，是从个别到一般的推理方式，通常基于已有的事实、实例或直觉进行推断。例如，题目中的（1）通过观察序列33322112(12)[(1)]2nnn n ，我们可以合情推理出一般公式；而（2）中的哥德巴赫猜想则是基于大量的偶数分解情况提出的未被证明的假设。合情推理虽然能引导我们形成假设或猜想，但不能确保其必然正确。 相比之下，演绎推理是一种从一般到特殊的推理方法，它依赖于已知的公理、定理和规则进行严密的推理。例如，题目中的（3）若已知某些质数分布的规律，通过演绎推理可以尝试证明或否定哥德巴赫猜想。演绎推理强调逻辑的严密性，如果前提正确，那么推理出的结论一定是正确的。 在数学问题解决中，合情推理常用于提出猜想，而演绎推理则用于验证这些猜想。如题二中，通过类比2Sr，我们可以尝试类比得出V的表达式，即343Vr。这种类比推理是合情推理的一种形式，而验证这个结论就需要运用演绎推理，比如利用圆锥体的体积公式进行计算。 题三和题四分别考察了数列的规律发现与等式的构造。对于|x|+|y|=n的不同整数解个数的问题，可以通过归纳法找出规律，然后用演绎推理证明。而等式构造的问题，通常需要观察项数、指数和结果之间的关系，逐步推出通项公式。 题五涉及到三角恒等式的发现和证明，这是三角函数性质与运算规则的综合应用。首先通过合情推理选择其中一个式子计算出常数，如34，然后推广为一般形式，如22sincos (30)sincos(30)xxxx  ，再通过演绎推理，利用三角恒等变换证明这个推广的恒等式是正确的。 合情推理与演绎推理在数学学习中相辅相成，前者帮助我们形成和检验假设，后者则确保我们的推理过程和结论的严谨性。在实际解题过程中，学生需要灵活运用这两种推理方式，结合具体问题的特点，有效地解决问题。