（新课标）2015年高考数学 题型全归纳 正、余弦定理在实际生活中的应用典型例题

正余弦定理是高中数学中的重要概念，主要应用于解决涉及三角形的问题，尤其是在实际生活中，如测量、航海、物理等领域。这两个定理是解决不规则三角形问题的关键工具，尤其是当角度和边长信息不完全对称时。 1. **正弦定理**：在任意三角形ABC中，如果a、b、c分别是对应角A、B、C的对边，那么有以下比例关系： $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ 正弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，尤其是在只知道两边和一个非夹角或者两角和一边的情况下。 2. **余弦定理**：在任意三角形ABC中，如果a、b、c分别是对应角A、B、C的对边，那么有以下关系： $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C $$ 同样地，对于其他两个角也有类似的关系。余弦定理常用于已知三边或两边和夹角的情况，来求解未知的角度或边长。 在实际应用中，解题步骤通常包括： 1. **理解题意**：明确题目中的专业术语，如仰角、俯角、视角等，并将实际问题转化为数学模型。 2. **构建图形**：根据题目描述画出相关图形，帮助直观理解问题。 3. **应用定理**：选择合适的定理，如正弦定理或余弦定理，建立数学模型。 4. **计算求解**：准确进行数学运算，确保答案的正确性。 5. **答案呈现**：清晰地表达解题过程和结果。 以给定的例题为例，例1中，通过余弦定理解决了测量中的距离问题，例2展示了航海中利用正余弦定理确定追击方向和时间，例3则是在航空测量中计算海拔高度，而例4则是在军事场景中运用正余弦定理定位炮兵阵地。 通过这些实例，我们可以看出正余弦定理在实际问题中的强大应用能力。无论是解决空间位置关系，还是计算距离、时间，甚至确定最佳路径，这些定理都提供了强有力的理论支持。因此，掌握正余弦定理对于理解实际问题的数学模型至关重要，也是高考数学中考察的重要内容。在学习过程中，学生需要多做练习，熟练运用这两个定理，提高解决问题的能力。