二次函数是高中数学中的核心知识点，它涉及到多项式函数、函数的性质、二次方程的解法、函数图像的理解以及不等式的应用等多个方面。在高考备考中，掌握二次函数的相关知识至关重要。以下是对给定内容中涉及的几个知识点的详细解释：
1. **恒成立问题**：
在题目1中，函数`f(x) = x^2 + (a - 4)x + 4 - 2a`需要对于`a`在区间`[-1, 1]`上的所有值都大于0。这可以通过转化为关于`a`的一次函数`g(a) = (x - 2)a + x^2 - 4x + 4`来解决。利用一次函数的性质，我们可以通过设定系数或者边界条件来找到`x`的取值范围。
2. **偶函数性质**：
题目2中提到函数`f(x) = ax^2 + (b + c)x + 1`是偶函数，这意味着它的定义域关于原点对称，且满足`f(-x) = f(x)`。由此可以推导出`a`与`b`的关系，从而得出点`(a, b)`的轨迹是一条直线的一部分。
3. **二次函数的值域与定义域**：
题目3中，函数`y = x^2 - 3x - 4`在`[0, m]`上的值域为`[-, -4]`。由于二次函数的对称轴和开口方向，我们需要确定`m`的值使得函数在这个区间内达到最小值`-`。通过分析对称轴的位置，我们可以确定`m`的取值范围。
4. **根的分布**：
题目4中的方程`x^2 - 2mx + 4 = 0`的两根分别位于2的两侧，意味着二次函数`f(x) = x^2 - 2mx + 4`在`x=2`时的函数值必须小于0。通过不等式可以找出`m`的取值范围。
5. **函数最值问题**：
题目5中，两个函数的利润函数组合成总利润函数，是一个二次函数，可以通过配方法或求导法找到最大利润。在这里，通过直接比较二次函数的系数，可以确定最大利润对应的销售量。
6. **对称性与根的和**：
题目6中的函数`f(x)`满足`f(x) = f(2-x)`，说明函数图像关于直线`x=1`对称。因此，如果`f(x) = 0`有2013个实根，这些根关于`x=1`对称，所以它们的和是2013的倍数。
7. **周期函数**：
函数`f(x)`在区间`[-1, 1]`上的表达式与周期性有关，利用周期性可以将不同区间的函数值转换到已知区间内，然后求解未知数。
8. **函数的零点**：
若`f(x) = ax + b`的一个零点是`1`，则可以求出`a`和`b`的关系，进一步解出`g(x) = bx^2 - ax`的零点，这里利用了方程的解和函数零点的对应关系。
9. **新定义运算下的函数最大值**：
题目9定义了一种新的运算`x ̸ y = min(x, y)`，并要求找到函数`f(x) = x^2 ̸ (2x - x^2)`的最大值。这里需要根据新定义的运算理解函数的性质，然后通过求解不等式找到最大值。
10. **二次函数的特定性质**：
最后一个题目要求确定一个二次函数，给定了三个条件：在某两点的函数值相等且为-1，以及函数的最大值为8。通过这三个条件，我们可以列出关于二次函数系数的方程组，解出这些方程来确定二次函数的具体形式。
以上就是对给定内容中涉及的二次函数相关知识点的详细解释。在实际解题过程中，理解并熟练运用这些知识点是解决复杂问题的关键。
