在数学的几何领域，三角形的中位线是一个重要的概念，尤其在初中八年级的数学课程中占有显著地位。中位线是从一个顶点到对应边中点的连线，它具有一些独特的性质和应用场景。本题目的习题涉及到中位线的证明和应用，主要集中在平行四边形和三角形的相关性质。
我们来看第一个问题。在平行四边形ABCD中，若AE=EB，根据中位线的定义，AE和EB分别是AB和BC的中位线。因为平行四边形的对角线互相平分，所以AO=OC，BO=OD。又因为AE=EB，所以AEOB是平行四边形，因此OE平行于BC。
第二个问题涉及的是三角形中的中位线和角平分线。在△ABC中，如果CF平分∠ACB，那么根据角平分线的性质，CF两边的同位角相等，即∠FCB=∠FCA。同样，因为AE=EB，AE和EB也是BC边的中位线，所以AEFB是平行四边形，这意味着EF平行于AB。结合∠FCB=∠FCA，可以推得EF也平行于CA。由于CA=CD，所以EF等于BC的一半，即EF=12BD。
第三个问题是一个直接的中位线应用。在平行四边形ABCD中，E和F分别是AD和BC的中点，根据中位线的性质，ME和NF分别是MD和NC的中位线。因为平行四边形的对角线互相平分，所以MN也平分对角线BD，从而MN平行于BC。
第四个问题，如果E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，那么EFGH是所谓的“中点四边形”。根据中点四边形的性质，它的四条边分别平行于原四边形的对边，因此四边形EFGH是平行四边形。
第五个问题涉及到三角形的中线和中点。在△ABC中，BD和CE是中线，交于点O，F和G是OB和OC的中点。根据中位线的性质，OF和OG分别是OB和OC的中位线，所以OF平行于AC，OG平行于BC。因此，四边形DEFG是平行四边形。
第六个问题是扩展了的中位线问题。在平行四边形ABCD中，E在DC的延长线上，CE=DC。连结AE，设其与BC交于F，BD交于G，AC交于O，OF作为目标线段。由于AE是AD的中位线，那么AF=FD。同时，CE=DC，所以CF=FB。因为CF是∠ACB的平分线，所以∠FCB=∠FCO。由三角形的外角定理，∠FCB+∠FOC=∠FOD，而∠FCB=∠FCO，所以∠FOC=∠FOD，这表明OF是OD的中位线。因此，OF=1/2OD。因为OD是BD的中点，所以AB=2OF。
通过这些习题，我们可以看出，中位线是几何学中一种强大的工具，它可以帮助我们证明线段的平行性、相等性，以及构建平行四边形。熟练掌握中位线的性质和应用，对于解决相关几何问题至关重要。
