【火线100天】2015中考数学第13讲主要讲解了二次函数的图象和性质，这是初中数学中的核心知识点之一。二次函数的通用形式为y = ax² + bx + c（a，b，c为常数，a≠0），其中a决定了函数图像的开口方向，b影响函数的对称轴，c则决定函数与y轴的交点位置。
1. 二次函数的开口方向：
- 当a > 0时，函数开口向上，表示函数图像会像上无限延伸。
- 当a < 0时，函数开口向下，表示函数图像会向下无限延伸。
2. 对称轴：
- 函数的对称轴是直线x = -b/2a，这条直线将函数图像分为完全对称的两部分。
3. 顶点坐标：
- 二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，为(-b/2a, c - b²/4a)。
- 如果a > 0，顶点是函数的最低点；如果a < 0，顶点是函数的最高点。
4. 函数的增减性：
- 在对称轴左侧，即x < -b/2a时，y随x的增大而减小。
- 在对称轴右侧，即x > -b/2a时，y随x的增大而增大。
5. 图象与字母系数的关系：
- a的符号决定了开口方向，|a|的大小影响开口的宽窄。
- b的值影响对称轴的位置，b = 0时，对称轴为y轴。
- c的值决定函数与y轴的交点，c > 0时，函数与y轴正半轴相交，c < 0时，与负半轴相交。
6. 二次函数与一元二次方程和不等式的关系：
- 二次函数与x轴的交点坐标是一元二次方程的根。
- 抛物线在x轴上方的点对应不等式ax² + bx + c > 0的解集，下方的点对应不等式ax² + bx + c < 0的解集。
7. 确定二次函数解析式的方法：
- 一般式：根据三个点或三对自变量和函数值设定。
- 顶点式：利用顶点坐标或对称轴信息设定。
- 交点式：根据与x轴的两个交点坐标设定。
8. 注意事项：
- 求顶点坐标时不要混淆横坐标符号。
- 最值问题要根据函数增减性判断。
- 求函数与坐标轴的交点时，需解相应的方程。
举例来说，对于抛物线y = x² - 2x + c，若其与y轴交于(0, -3)，我们可以得知c = -3。进一步分析，对称轴为x = -(-2)/2*1 = 1，且a = 1 > 0，所以开口向上。顶点坐标为(1, -4)，不是最小值而是最大值，因为a > 0，所以抛物线在对称轴右侧会下降。这意味着x = 1时，y的最大值为-4，而不是最小值。另外，该抛物线与x轴的交点坐标通过解方程x² - 2x - 3 = 0得出，为(-1, 0)和(3, 0)。
总结起来，掌握这些知识对于理解二次函数的图象和性质至关重要，能帮助学生解决与之相关的数学问题，包括一元二次方程和不等式的求解。
