立体几何中的向量方法在解决平行与垂直的证明问题中起着至关重要的作用，尤其是在高中数学的学习中。向量作为一种工具，能够直观地表示空间中点的位置和方向，因此在处理几何问题时提供了便利。
1. 向量与平面法向量的关系：
- 平面的法向量是与该平面垂直的非零向量，如果一个向量与平面的法向量垂直，那么这个向量就可能平行于该平面。例如题目中的第1题，判断向量是否与平面α的法向量垂直，是解决平行性问题的关键。
2. 直线与平面的关系：
- 直线的方向向量与平面的法向量平行意味着直线平行于平面。题目第2题考察的就是这个概念，通过分析直线l的方向向量a与平面α的法向量n的关系来判断直线与平面的位置关系。
3. 平面之间的垂直关系：
- 平面π1和π2互相垂直意味着它们的法向量也互相垂直。在第3题中，寻找可能的法向量组合，必须满足它们的点积为零。
4. 向量平行与共面向量：
- 向量a和b平行并不一定意味着它们是共面向量，只有当a和b都在同一个平面上或者可以找到第三个向量使它们构成空间的一个基底时，a和b才是共面向量。第4题考察了这些概念。
5. 向量的数量积与位置关系：
- 数量积为零意味着向量垂直。第5题中，AP与AB、AC的数量积为零，表明AP垂直于AB和AC，但这不一定意味着AP垂直于BC，因为BC可能是AB和AC的线性组合。
6. 正方形折叠问题：
- 在第6题中，将正方形折叠成直二面角，通过向量运算求解线段BP的长度，展示了向量在解决立体几何问题中的应用。
7. 二面角的计算：
- 第7题涉及了利用向量求解二面角的大小，通过计算两垂直向量的叉积的模长来确定角度。
8. 二面角与线段长度的关系：
- 第8题中，通过已知的二面角大小、垂直线段长度，计算异面直线AD的长度，这需要利用到向量的投影和数量积。
9. 向量的模长与垂直关系：
- 第9题要求一个向量，其模长已知，并且与给定向量AB和AC垂直，利用向量垂直的条件来求解。
10. 直线与直线所成角：
- 第10题中，利用空间坐标和向量的方法求解四棱锥中两条直线所成的角。
11. 折叠问题与夹角：
- 第11题中，根据直角坐标系中两点在折叠后的距离变化，求解折成的二面角大小。
12. 二面角的余弦值：
- 第12题求解的是四棱锥中两个平面的夹角，需要用到向量的叉积和余弦定理。
13. 正方体与垂直问题：
- 第13题涉及到正方体中垂直线段的问题，通过向量方法找出满足条件的CE和DF的和。
14. 中点与共面：
- 第14题通过证明中点构成的四边形EFGH的边向量成比例，来证明它们共面，并进一步证明BD平行于该平面。
15. 异面直线的夹角：
- 第15题要求求解异面直线AE与PB的夹角，需要建立适当的坐标系，然后利用向量的投影和数量积来求解。
16. 平面与平面的垂直和平行线：
- 第16题中，通过证明平面PAC与平面ABC的交线与平面PAC垂直，以及线段PE与线段PB的夹角，进一步理解平面和平面的垂直关系以及异面直线夹角的计算。
以上问题展示了向量在立体几何中的广泛应用，包括平行、垂直的判断，角度的计算，线段长度的求解，以及平面和平面、直线和直线之间的关系。这些题目是训练学生掌握向量方法解决立体几何问题的基础，对于提升空间想象能力和逻辑推理能力非常有帮助。
