2013高考数学 易错题 失分点+补救训练 数列递推关系转化

在高中数学，特别是针对高考复习的部分，数列的递推关系是重要的知识点，因为它涉及到序列的构造、通项公式的求解以及数列性质的应用。本题主要关注的是如何正确处理数列的递推关系，并从中找出解题的规律。 我们分析失分点16的例子。题目给出函数f(x) = 1/(1-x)，数列{an}的首项a1和递推关系an+1 = f(an)，同时定义了数列{bn}。通过对递推关系的转化，可以找到an+1与an的关系，进而推导出bn+1与bn的关系。在这个过程中，关键步骤是将an+1=f(an)代入，得到an+1/(1-an+1) = 1/(1-an)，整理后得到(1-an)/(an+1) = (1-bn)/bn。通过这样的转化，可以得出bn+1 = 2bn，揭示出{bn}是一个等比数列，从而求得bn的通项公式为bn = 2^n。 接下来是补救训练16。这里要求解函数f(x)的解析式，数列{an}和{bn}的通项公式，以及是否存在满足条件的k值。通过已知条件f() = x，将x替换为1/t，可以解出f(x) = (x≠0)。对于数列{an}，利用递推关系an+1 = f(an)，可以推导出an的通项公式为an = 2n - 1。对于数列{bn}，通过bn+1 - bn = 2n - 1，利用累加法可以得到bn的通项公式为bn = n^2 - 2n + 2。需要判断是否存在k使得当n>=k时，bn >= (1-λ)f(an)恒成立。这转化为一个关于λ的不等式问题，通过求解不等式，确定了n的最小值为3。 总结来说，这个知识点涉及到以下几个方面： 1. **数列递推关系的转化**：通过将递推关系代入，转化为更简单的形式，如等差或等比数列。 2. **等比数列的通项公式**：理解等比数列的定义和通项公式bn = a * q^(n-1)，其中a是首项，q是公比。 3. **累加法求和**：在解决数列问题时，有时需要通过累加前几项来求解通项。 4. **函数解析式的求解**：根据给定的函数性质，如已知函数的值，可以反推出函数的解析式。 5. **不等式恒成立问题**：考虑参数的取值范围，将问题转化为函数的最值问题。 这些知识点是高中数学中的核心内容，不仅在高考中频繁出现，而且对后续的高等数学学习也具有基础性作用。学生需要熟练掌握递推关系的转化技巧，以及等差、等比数列的性质，才能有效地解决这类问题。