【知识点详解】
1. 反比例函数:反比例函数的一般形式是 y = k/x,其中k是常数,x和y的乘积为k。题目中的反比例函数 y = 4/x,当x=1时,y=4,因此选项A错误。由于比例系数k=4是正数,函数图象分布在第一、三象限,所以选项B错误。反比例函数的两个分支是关于原点对称的,而不是关于x轴对称,所以选项C错误,选项D正确。
2. 闭合电路中的电流与电阻关系:根据欧姆定律,电流I与电压U成正比,与电阻R成反比,即I=U/R。题目中电流I与电阻R成反比,且给出了电流I与电阻R的函数图像,通过图像可以判断出I与R的关系式为I=6/R,因此答案是C。
3. 矩形OAPB的面积变化:P(x,y)是反比例函数y=3/x的第一象限分支上的点,PB垂直于y轴,随着x增大,矩形OAPB的面积S=xy=3,因此面积是恒定不变的,选项A正确。
4. 正比例函数与反比例函数图像:正比例函数y=x的图像是一条穿过原点的直线,斜率为1;反比例函数y=2/x的图像在第一、三象限内,形状类似两个S型曲线。根据函数性质,这两个函数的图像在第一象限内会有一个交点,但不会是直线,因此答案是B。
5. 反比例函数图像上的点:如果反比例函数y=k/x的图像经过点(m,2)和(-2,3),那么2m=(-2)×3,解得m=-3。
6. 矩形ABCD的面积:四边形ABCD为矩形,且AB平行于x轴,BC平行于y轴。点A在y=1/x上,点B在y=3/x上,AB和BC的长度分别是1/3和1/1,因此矩形ABCD的面积是1-3=2。
7. 函数y1=x(x>=0)与y2=9/x(x>0)的性质:这两个函数都是定义在非零实数上的,y1是正比例函数,y2是反比例函数。交点A的坐标为(3,3);当x>3时,y2<y1;当x=1时,BC=8;当x逐渐增大时,正比例函数y1的值随x的增大而增大,反比例函数y2的值随x的增大而减小。因此,正确的结论序号是①③④。
8. (1)菱形ABCD的对角线互相垂直平分,可以利用菱形的性质求出C点的坐标,从而得出反比例函数的关系式。
(2)三角形POA的面积等于三角形COD的面积,可以通过解方程找出满足条件的P点坐标。
9. (1)在治污期间,y与x成反比例,设函数关系式为y = k/x。通过数据点(5,40)可以计算k。治污改造工程完成后,y与x的函数关系式是线性的,y = mx + b,通过点(5,40)和(6,60)可以求出m和b。
(2)要找到月利润再次达到200万元的月份,可以设置方程解x。
(3)资金紧张期是指利润小于100万元的时期,可以根据反比例函数关系式和之后的线性增长模型来确定这个时期。
以上是对题目中涉及的数学知识的详细解释,包括反比例函数的性质、闭合电路中的电流与电阻关系、几何图形的性质以及函数图像的分析。这些知识是初中数学的重要组成部分,对于理解和解决问题至关重要。